Parabola, Ellipse and Hyperbola MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Parabola, Ellipse and Hyperbola - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

हल:

\(2 { b}=\frac{1}{4}(2{ae}) \)

\(\Rightarrow 4 {b}= {ae} \)

\(\Rightarrow 16 {b}^{2}={a}^{2} {e}^{2} \)

\(\Rightarrow 16 {a}^{2}\left(1- {e}^{2}\right)={a}^{2} {e}^{2} \)

\(\Rightarrow 16-16 {e}^{2}= {e}^{2} \)

\(\Rightarrow {e}^{2}=\frac{16}{17} \)

\(\Rightarrow {e}=\frac{4}{\sqrt{17}} \)

इसलिए विकल्प 4 सही उत्तर है। 

गणना:

दिया गया है कि दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु 3sinα, 5cosα है। दीर्घवृत्त के मानक प्राचलिक रूप में,

\(x = a\,\sinα,\quad y = b\,\cosα\)

हम पहचानते हैं

\(a = 3,\quad b = 5 \)

चूँकि (b > a), अर्ध-दीर्घ अक्ष (b = 5) और अर्ध-लघु अक्ष (a = 3) है। एक दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता e है

\(e = \sqrt{\,1 - \frac{(\text{semi-minor})^{2}}{(\text{semi-major})^{2}}\,} = \sqrt{\,1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}\,} \)

(a = 3) और (b = 5) प्रतिस्थापित करने पर:

\(e = \sqrt{\,1 - \frac{3^{2}}{5^{2}}\,} = \sqrt{\,1 - \frac{9}{25}\,} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है,

अतिपरवलय समीकरण: \(25x^{2} - 75y^{2} = 225\)

मानक रूप प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों को 225 से विभाजित करने पर:

\(\frac{25x^{2}}{225} - \frac{75y^{2}}{225} = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1\)

इस प्रकार, \(a^{2} = 9\) और \(b^{2} = 3\).

\(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) से \(c\) की गणना करें:

\(c^{2} = 9 + 3 = 12 \;\Longrightarrow\; c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.\)

नाभियाँ \((\pm c,\,0)\) पर हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी \(2c\) निम्नवत है:

\(2c = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}.\)

∴ दो नाभियों के बीच की दूरी \(4\sqrt{3}\) इकाई है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया परवलय है,

y2 = 4x

और इस परवलय की एक स्पर्श रेखा जो धनात्मक x-अक्ष के साथ 45° के कोण पर आनत है, इसलिए, इसका ढाल है

\(m \;=\; \tan(45^\circ) \;=\; 1.\)

y2 = 4x का एक मानक प्राचलिक रूप है

\(\bigl(x(t),\,y(t)\bigr) \;=\;\bigl(t^{2},\,2t\bigr), \)

क्योंकि \(y^{2} = 4x \implies (2t)^{2} = 4\,t^{2} \)

\(\bigl(t^{2},\,2t\bigr) \) पर स्पर्श रेखा की ढाल

y2 = 4x को अवकलित करने पर

\(2y\,\frac{dy}{dx} \;=\; 4 \)

\(\;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} \;=\; \frac{4}{\,2y\,} \;=\; \frac{2}{\,y\,}. \)

बिंदु \(\bigl(x,y\bigr) = \bigl(t^{2},\,2t\bigr) \) पर \(y = 2t \)

\(\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\,(t^{2},\,2t)} \) \(= \frac{2}{\,2t\,} = \frac{1}{t}.\)

हमें इस ढाल को 1 के बराबर करने की आवश्यकता है।

\(\frac{1}{t} \;=\; 1 \;\Longrightarrow\; t = 1. \)

अब स्पर्श बिंदु

\(\bigl(x(t),\,y(t)\bigr) = \bigl(t^{2},\,2t\bigr)\) में t = 1 प्रतिस्थापित करने पर,

\(x(1) = 1^{2} = 1, \)

\(y(1) = 2 \cdot 1 = 2. \)

इस प्रकार ढाल 1 के स्पर्शरेखा का स्पर्श बिंदु (1, 2) है। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

अतिपरवलय: किसी बिंदु का वह बिन्दुपथ जो इस प्रकार स्थानांतरित होता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी से अधिक है। (उत्केंद्रता = e > 1)

• लैटस रेक्टम की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)

गणना:

दिया गया है: \(\rm \frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{75} = 1\)

अतिपरवलय के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: \(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} - \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\)

इसलिए, a2 = 100 और b2 = 75

∴ a = 10

लैटस रेक्टम की लम्बाई =  \(\rm \frac{2b^2}{a}\)= \(\rm \frac{2 \times 75}{10} = 15\)

संकल्पना:

एक अतिपरवलय  का मानक समीकरण:\(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} - \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\) 

• केंद्र-बिंदु का निर्देशांक = (± ae, 0)
• उत्केंद्रता (e) = \(\sqrt {1 + {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} \) ⇔ a2e2 = a2 + b2
• लैटस रेक्टम की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)

गणना:

दिया गया है: \(\rm \frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{75} = 1\)

अतिपरवलय के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: \(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} - \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\)

इसलिए, a2 = 100 और b2 = 75

अब, उत्केंद्रता (e) = \(\sqrt {1 + {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} \) 

= \(\sqrt {1 + \frac{75}{100}}\)

= \(\sqrt {1 + \frac{3}{4}}\)

= \(\sqrt { \frac{7}{4}}\)

अवधारणा:

एक आयताकार अतिपरवलय \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) के गुण निम्न हैं:

• इसका केंद्र इसके द्वारा दिया गया है: (0, 0)
• इसके फोकस इसके द्वारा दिए गए हैं: (- ae, 0) और (ae, 0)
• इसके शीर्ष इसके द्वारा दिए गए हैं: (- a, 0) और (a, 0)
• इसकी उत्केंद्रता इस प्रकार दी गई है: \(e = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}\)
• अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई = 2a और इसका समीकरण y = 0 है।
• संयुग्म अक्ष की लंबाई = 2b और इसका समीकरण x = 0 है।
• इसके नाभिलंब की लंबाई इस प्रकार है: \(\frac{2b^2}{a}\)

गणना:

यहाँ, हमें उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात करना है जिसकी नाभिलंब की लंबाई 4 है और उत्केंद्रता 3 है।

जैसा कि हम जानते हैं कि, क्षैतिज अतिपरवलय का नाभिलंब \(\frac{2b^2}{a}\) द्वारा दिया जाता है

⇒ \(\frac{2b^2}{a} = 4\)

⇒ b² = 2a

जैसा कि हम जानते हैं कि, एक अतिपरवलय की उत्केंद्रता इसके द्वारा दी गई है: \(e = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}\)

⇒ a2e2 = a2 + b2

⇒ 9a² = a² + 2a

⇒ a = 1/4

∵ b2 = 2a

⇒ b2 = 1/2

तो, आवश्यक अतिपरवलय का समीकरण 16x² - 2y² = 1 है

इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।

संकल्पना

अतिपरवलय का समीकरण है \(\rm \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)

अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी = 2ae

फिर से, \(\rm b^2 = a^2(e^2-1)\)

गणना:

अतिपरवलय का समीकरण है \(\rm \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) .... (1)

एक अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी 16 है और इसकी उत्केंद्रता √2 है।

हम जानते हैं कि अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी = 2ae

⇒ 2ae = 16

⇒ a = \(\dfrac {16}{2\sqrt 2}\) = \({4\sqrt 2}\)

फिर से, \(\rm b^2 = a^2(e^2-1)\)

⇒ \(\rm b^2 = 32(2-1)\)

⇒ \(\rm b^2 = 32\)

समीकरण (1) बन जाता है

⇒ \(\rm \dfrac{x^2}{32} - \dfrac{y^2}{32} = 1 \)

⇒ x 2 - y 2 = 32

संकल्पना:

दीर्घवृत्त का समीकरण: \(\rm\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)​

उत्केंद्रता​ (e) = \(\rm\sqrt{1-\frac{b^2 }{a^2}}\)

जहाँ, शीर्ष = (± a, 0) और केंद्र-बिंदु = (± ae, 0)

गणना:

यहाँ, दीर्घवृत्त का शीर्ष (± 5, 0) और केंद्र-बिंदु (±4, 0) है। 

इसलिए, a = ±5 ⇒ \(a^2=25\) और 

ae = 4 ⇒ e = 4/5

अब, 4/5 = \(\rm\sqrt{1-\frac{b^2 }{5^2}}\)

\(⇒ \rm\frac{16}{25}=\rm\frac{25-b^2}{25}\\⇒ 16=25-b^2 \\⇒ b^2=9 \)

∴ दीर्घवृत्त का समीकरण = \(\rm \frac {x^2}{25} + \frac {y^2}{9} = 1\)

 अतः विकल्प (1) सही है।  

संकल्पना:

परवलय:

गणना:

दिए गए समीकरण (y - 3)2 = 20(x - 1) की तुलना परवलय के सामान्य समीकरण (y - k)2 = 4a(x - h) के साथ करने पर, हम कह सकते हैं कि:

k = 3, a = 5, h = 1

शीर्ष (h, k) = (1, 3) है। 

संकल्पना:

उस बिंदु के निर्देशांक जहां जीवा परवलय को काटती है, परवलय के समीकरण को संतुष्ट करती है।

हिसाब:

दिया गया:

एक परवलय का समीकरण y ² = x है।

जीवा OA द्वारा x-अक्ष के साथ बनाया गया कोण θ है

माना परवलय की जीवा OA की लंबाई L है

अत: AM की लंबाई = L sinθ

और OM की लंबाई = L cosθ

अत: A का निर्देशांक = (L cos θ, L sin θ)

और यह बिंदु परवलय y2 = x के समीकरण को संतुष्ट करेगा।

⇒ (Lsin θ)2 = L cos θ

⇒L2 sin2 θ = L cos θ

⇒ L = cos θ. cosec2 θ

∴ जीवा की अभीष्ट लंबाई cos θ. cosec2 θ.

संकल्पना:

अतिपरवलय: किसी बिंदु का वह बिन्दुपथ जो इस प्रकार स्थानांतरित होता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी से अधिक है। (उत्केंद्रता = e > 1)

गणना:

दिया गया है:

16x² – 9y² = 1

\( \Rightarrow \frac{{{\rm{\;}}{{\rm{x}}^2}}}{{\frac{1}{{16}}}} - \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{\frac{1}{9}}} = 1\)

 \(\frac{{{\rm{\;}}{{\rm{x}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}} - \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{{{\rm{b}}^2}}} = 1\) के साथ तुलना करने पर 

∴ a² = 1/16 और b² = 1/9

उत्केंद्रता = \(\sqrt {1 + {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} = \;\sqrt {1 + \;\frac{{\left( {\frac{1}{9}} \right)}}{{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)}}} = \;\sqrt {1 + \;\frac{{16}}{9}} = \;\sqrt {\frac{{25}}{9}} = \;\frac{5}{3}\) 

संकल्पना:

परवलय: बिंदु का वह मूल पथ जो इस प्रकार गति करता है जिससे निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी के बराबर (उत्केंद्रता = e =1) होती है। 

गणना:

दिया गया है: x2 = 16y

⇒ x2 = 4 × 4 × y

परवलय के मानक समीकरण x2 = 4ay के साथ तुलना करने पर

इसलिए, a = 4

अतः केंद्र बिंदु = (0, a) = (0, 4)

अवधारणा:

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण, \(\rm\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}= 1\) है

नाभिलंब की लंबाई , L.R = \(\rm\frac{2a^{2}}{b}\) , यदि  b > a

गणना:

\(\rm\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{49}= 1\) ,

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर , a = 5 और b = 7 

हम जानते हैं कि, नाभिलंब की लंबाई = \(\rm\frac{2a^{2}}{b}\) है

⇒ L.R = \(\rm\frac{2\times5^{2}}{7}\) =  \(\rm\frac{50}{7}\) 

सही विकल्प 2 है।