Parabola, Ellipse and Hyperbola MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Parabola, Ellipse and Hyperbola - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

গণনা

প্রদত্ত উপবৃত্তটি হল: 9x² + 16y² = 144

এটিকে উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা করলে:

\(\frac{x²}{a²} + \frac{y²}{b²} = 1\), আমরা পাই:

⇒ a² = 16 এবং b² = 9।

⇒ a = 4 এবং b = 3।

উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা (e) নিম্নরূপে দেওয়া হয়:

⇒ \(e = √(1 - \frac{b²}{a²}) = √(1 - \frac{9}{16}) = \frac{\sqrt{7}}{4}\)

উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দুগুলো (±ae, 0), যা এই ক্ষেত্রে (±√7, 0)।

(h, k) কেন্দ্র এবং r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ হল:

⇒ (x - h)² + (y - k)² = r²

এখানে, কেন্দ্র (2, -1)

ব্যাসার্ধ হল কেন্দ্র (2, -1) এবং একটি কেন্দ্রবিন্দু (√7, 0) এর মধ্যে দূরত্ব

⇒ r = √[(2 - √7)² + (-1 - 0)²] = √(4 - 4√7 + 7 + 1) = √(12 - 4√7)

এখন, বৃত্তের সমীকরণে h, k এবং r এর মান প্রতিস্থাপন করলে:

⇒ (x - 2)² + (y + 1)² = 12 - 4√7

⇒ x² - 4x + 4 + y² + 2y + 1 = 12 - 4√7

⇒ x² + y² - 4x + 2y - 7 + 4√7 = 0

অতএব, বিকল্প (1) সঠিক উত্তর।

গণনা

যেহেতু \( Angle POQ =\frac{ \pi}{2} \)

⇒ \( t_1 ⋅ t_2 = -4 \)

\(\frac{1}{2}\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ \frac{(t_1)^2}{2} & t_1 & 1\\ \frac{(t_2)^2}{2} & t_2 & 1\\ \end{vmatrix} = 3 √2 \)

⇒ \( | t_1 - t_2| = 3√2 \)

⇒ \(t_1 + \frac{4}{t_1} = 3√ 2 \quad যেহেতু ( t_1 > 0) \)

আমরা পাই \(t_1 = 2√ 2 , 2 \)

⇒ P(4, 2√ 2 ) অথবা (1, √ 2)

অতএব বিকল্প (1) সঠিক উত্তর।

গণনা

প্রদত্ত

\(\dfrac {x^{2}}{12} + \dfrac {y^{2}}{16} = 1\)

\(e = \sqrt {1 - \dfrac {12}{16}} = \dfrac {1}{2}\)

কেন্দ্রবিন্দু \((0, \pm be)\) ⇒ \((0, 2)\) এবং \((0, -2)\)

সুতরাং, অধিবৃত্তের অনুপ্রস্থ অক্ষ \(= 2b = 4\)

\(\Rightarrow b = 2\)

এবং \(a^{2} = b^{2} (e^{2} - 1)\)

\(\Rightarrow a^{2} = 4\left (\dfrac {9}{4} - 1\right )\)

\(\Rightarrow a^{2} = 5\)

\(\therefore\) এর সমীকরণ হল \(\dfrac {x^{2}}{5} - \dfrac {y^{2}}{4} =- 1\)

\(\left(5,2\sqrt3\right)\) উপরোক্ত সমীকরণকে প্রমাণিত করে না।

অতএব, বিকল্প 3 সঠিক।

ধারণা:

একটি অধিবৃত্তের y ² = 4ax এর নিয়ামক x = – a দ্বারা দেওয়া হয়েছে।

হিসাব:

ধরা যাক P(h, k) হল অধিবৃত্তের কেন্দ্র (a, 0) এবং একটি সাধারণ বিন্দু Q(at ² , 2at) এর সাথে সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু।

∴ h = ( 2 + a)/2, k = (2at + 0)/2

⇒ t 2 =(2h – a)/a এবং t = k/a

⇒ k 2 /a 2 = (2h – a)/a

⇒ k 2 = a(2h – a)

h কে x দিয়ে এবং k কে y দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাবো:

∴ (h, k) এর অবস্থান হল y 2 = a(2x – a)

⇒ y 2 = 2a(x – a/2)

এর নিয়ামক হল x – a/2 = – a/2

⇒ x = 0

∴ বিন্দুর অবস্থান হল x = 0।

সঠিক উত্তর হল বিকল্প 2.

ব্যাখ্যা -

y2 = 4x অধিবৃত্তের যেকোনো স্পর্শকের সমীকরণ হল y = mx + a/m

y = mx + 4 এর সাথে তুলনা করে পাই, 1/m = 4

সুতরাং m = \(\frac{1}{4}\).

স্পর্শকের সমীকরণ হয় y = (x/4) + 4

y = (x/4) + 4, x2 = 2by এর স্পর্শক

x2 = 2b{(x/4) + 4}

অথবা 2x2 - bx - 16b = 0

D = 0

b2 + 128b = 0

b = 0 (সম্ভব নয়)

b = -128

অতএব, বিকল্প (3) সঠিক।

গণনা

প্রদত্ত উপবৃত্তটি হল: 9x² + 16y² = 144

এটিকে উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা করলে:

\(\frac{x²}{a²} + \frac{y²}{b²} = 1\), আমরা পাই:

⇒ a² = 16 এবং b² = 9।

⇒ a = 4 এবং b = 3।

উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা (e) নিম্নরূপে দেওয়া হয়:

⇒ \(e = √(1 - \frac{b²}{a²}) = √(1 - \frac{9}{16}) = \frac{\sqrt{7}}{4}\)

উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দুগুলো (±ae, 0), যা এই ক্ষেত্রে (±√7, 0)।

(h, k) কেন্দ্র এবং r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ হল:

⇒ (x - h)² + (y - k)² = r²

এখানে, কেন্দ্র (2, -1)

ব্যাসার্ধ হল কেন্দ্র (2, -1) এবং একটি কেন্দ্রবিন্দু (√7, 0) এর মধ্যে দূরত্ব

⇒ r = √[(2 - √7)² + (-1 - 0)²] = √(4 - 4√7 + 7 + 1) = √(12 - 4√7)

এখন, বৃত্তের সমীকরণে h, k এবং r এর মান প্রতিস্থাপন করলে:

⇒ (x - 2)² + (y + 1)² = 12 - 4√7

⇒ x² - 4x + 4 + y² + 2y + 1 = 12 - 4√7

⇒ x² + y² - 4x + 2y - 7 + 4√7 = 0

অতএব, বিকল্প (1) সঠিক উত্তর।

গণনা:

প্রদত্ত, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2 a^2}\) = 1

এখন, জ্যাটি প্রদত্ত x cos θ + y sin θ = p

⇒ \(\frac{x \cos θ + y \sin θ}{p}=1\)

∴ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2 a^2}\) = 1 = (1)²

⇒ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2 a^2}\) = \(\left(\frac{x \cos θ + y \sin θ}{p}\right)^2\)

⇒ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2 a^2}\) = \(\frac{x^2\cos^2θ}{p^2}+\frac{y^2\sin^2θ}{p^2}+\frac{2xy\sinθ\cosθ}{p^2}\)

⇒ \(x^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{\cos^2θ}{p^2}\right)\) + \(y^2\left(-\frac{1}{2a^2}-\frac{\sin^2θ}{p^2}\right)\) - \(\frac{2xy\sinθ\cosθ}{p^2}\) = 0

এটি মূলবিন্দুগামী এবং পরিবর্তনশীল জ্যা ও পরাবৃত্তের ছেদবিন্দুগামী একজোড়া সরলরেখার সমীকরণ।

যেহেতু, এই জোড়া সরলরেখা পরাবৃত্তের কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন করে,

∴ x²-এর সহগ + y²-এর সহগ = 0।

⇒ \(\left(\frac{1}{a^2}-\frac{\cos^2θ}{p^2}\right)\) + \(\left(-\frac{1}{2a^2}-\frac{\sin^2θ}{p^2}\right)\) = 0

⇒ \(\frac{1}{2a^2}-\frac{1}{p^2}(\cos^2θ+\sin^2θ)\) = 0

⇒ \(\frac{1}{2a^2}\) = \(\frac{1}{p^2}\)

⇒ p² = 2a²

⇒ p = \(a\sqrt{2}\)

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ হবে \(a\sqrt{2}\)।

সঠিক উত্তর বিকল্প 3.

ব্যাখ্যা -

3x+4y =12√2 হলো উপবৃত্তের (x 2 /a 2 ) + (y 2 /9) = 1 এর একটি স্পর্শক

উপবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ (x 2 /a 2 ) + (y 2 /9) = 1 হল y = mx + √(a 2 m 2 + 9)

এখন, 3x + 4y = 12√2 ⇒ y = -(3/4)x + 3√2

m = -3/4

এবং √(a 2 m 2 + 9) = 3√2

(a 2 (-3/4) 2 + 9) = 18

a 2 (9/16) = 9

a 2 = 16

ক = ৪

e = √(1-b 2 /a 2 )

e = √(1-9/16)

= √7/4

কেন্দ্রবিন্দুর মধ্যে দূরত্ব 2ae = 2 × 4 × √7/4

= 2√7

অতএব সঠিক বিকল্পটি হল (2)

গণনা

প্রদত্ত

\(\dfrac {x^{2}}{12} + \dfrac {y^{2}}{16} = 1\)

\(e = \sqrt {1 - \dfrac {12}{16}} = \dfrac {1}{2}\)

কেন্দ্রবিন্দু \((0, \pm be)\) ⇒ \((0, 2)\) এবং \((0, -2)\)

সুতরাং, অধিবৃত্তের অনুপ্রস্থ অক্ষ \(= 2b = 4\)

\(\Rightarrow b = 2\)

এবং \(a^{2} = b^{2} (e^{2} - 1)\)

\(\Rightarrow a^{2} = 4\left (\dfrac {9}{4} - 1\right )\)

\(\Rightarrow a^{2} = 5\)

\(\therefore\) এর সমীকরণ হল \(\dfrac {x^{2}}{5} - \dfrac {y^{2}}{4} =- 1\)

\(\left(5,2\sqrt3\right)\) উপরোক্ত সমীকরণকে প্রমাণিত করে না।

অতএব, বিকল্প 3 সঠিক।

ধারণা:

একটি অধিবৃত্তের y ² = 4ax এর নিয়ামক x = – a দ্বারা দেওয়া হয়েছে।

হিসাব:

ধরা যাক P(h, k) হল অধিবৃত্তের কেন্দ্র (a, 0) এবং একটি সাধারণ বিন্দু Q(at ² , 2at) এর সাথে সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু।

∴ h = ( 2 + a)/2, k = (2at + 0)/2

⇒ t 2 =(2h – a)/a এবং t = k/a

⇒ k 2 /a 2 = (2h – a)/a

⇒ k 2 = a(2h – a)

h কে x দিয়ে এবং k কে y দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাবো:

∴ (h, k) এর অবস্থান হল y 2 = a(2x – a)

⇒ y 2 = 2a(x – a/2)

এর নিয়ামক হল x – a/2 = – a/2

⇒ x = 0

∴ বিন্দুর অবস্থান হল x = 0।

সঠিক উত্তর হল বিকল্প 2.

ব্যাখ্যা -

H : \(\frac{y^2}{b^2}\) - \(\frac{x^2}{a^2}\) = 1, e = \(\sqrt{3}\)

e = \(=\sqrt{1+\frac{\mathrm{a}^2}{\mathrm{~b}^2}}\) = \(\sqrt{3}\) ⇒ \(\frac{\mathrm{a}^2}{\mathrm{~b}^2}\) = 2

a² = 2b²

নাভি লম্বের দৈর্ঘ্য = \(\frac{2 \mathrm{a}^2}{\mathrm{~b}}\) = \(4 \sqrt{3}\)

a = \(\sqrt{6}\)

P(α, 6) \(\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{6}\) = 1 -এর উপর অবস্থিত

12 - \(\frac{α^2}{6}\) = 1 ⇒ α² = 66

নাভি = (0, ±be) = (0, 3) & (0, -3)

ধরা যাক d₁ & d₂ P(α, 6)-এর নাভি দূরত্ব

d₁ = \(\sqrt{α^2+(6+b e)^2}\), d₂ = \(\sqrt{α^2+(6-b e)^2}\)

d1 = \(\sqrt{66+81}\), d2 = \(\sqrt{66+9}\)

β = d1 d2 = \(\sqrt{147 \times 75}\) = 105

α² + β = 66 + 105 = 171

অতএব, বিকল্প (2) সঠিক।

ধারণা:

ধরা যাক বিন্দুটি P(acosθ, bsinθ) = (x₁, y₁)

(x₁, y₁) বিন্দুতে উপবৃত্তের \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) স্পর্শকের সমীকরণ হল: \(\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1\)

গণনা:

⇒ \(\frac{x.acosθ}{a^2} + \frac{y.bsinθ}{b^2} = 1\)

⇒ \(\frac{xcosθ}{a} + \frac{ysinθ}{b} = 1\)

x - অক্ষের ছেদের জন্য, y = 0

⇒ \(\frac{hcosθ}{a} = 1\), যেখানে h হল x - অক্ষের উপর ছেদ দৈর্ঘ্য।

⇒ cosθ = \(\frac{a}{h}\) ____সমীকরণ(1)

y - অক্ষের ছেদের জন্য, x = 0

⇒ \(\frac{ksinθ}{b} = 1\), যেখানে k হল y - অক্ষের উপর ছেদ দৈর্ঘ্য।

⇒ \(sinθ = \frac{b}{k}\) ____সমীকরণ(2)

সমীকরণ (1) এবং (2) যোগ করে পাই

⇒ \(\frac{a^2}{h^2} + \frac{b^2}{k^2} = cos^2θ + sin^2θ\)

⇒ \(\frac{a^2}{h^2} + \frac{b^2}{k^2} = 1\)

যদি উপবৃত্তের \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1-এর কোনো স্পর্শক অক্ষের উপর h এবং k দৈর্ঘ্যের ছেদ তৈরি করে, তাহলে- \(\frac{a^2}{h^2} + \frac{b^2}{k^2} = 1\)

গণনা

যেহেতু \( Angle POQ =\frac{ \pi}{2} \)

⇒ \( t_1 ⋅ t_2 = -4 \)

\(\frac{1}{2}\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ \frac{(t_1)^2}{2} & t_1 & 1\\ \frac{(t_2)^2}{2} & t_2 & 1\\ \end{vmatrix} = 3 √2 \)

⇒ \( | t_1 - t_2| = 3√2 \)

⇒ \(t_1 + \frac{4}{t_1} = 3√ 2 \quad যেহেতু ( t_1 > 0) \)

আমরা পাই \(t_1 = 2√ 2 , 2 \)

⇒ P(4, 2√ 2 ) অথবা (1, √ 2)

অতএব বিকল্প (1) সঠিক উত্তর।