त्रिकोणमिति MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometry - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

• ज्या फलन का परिसर: ज्या फलन का आउटपुट हमेशा −1 और 1 के बीच होता है, अर्थात्, सभी वास्तविक θ के लिए sin(θ) ∈ [−1, 1]।
• द्विघात फलन: ax2 + bx + c के रूप का द्विघात फलन एक परवलय का प्रतिनिधित्व करता है। यदि a > 0, तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है, और इसका न्यूनतम मान x = −b / 2a पर होता है।
• मुख्य विचार: यह पता लगाने के लिए कि sin(व्यंजक) = द्विघात के लिए कितने हल मौजूद हैं, हम यह निर्धारित करते हैं कि x के कितने मान द्विघात व्यंजक को [−1, 1] के भीतर रखते हैं।

गणना:

दिया गया है,

\(\sin (\frac{\pi x }{3\sqrt{2}}) = x^2-4x+6 \)

माना f(x) = x2 − 4x + 6

f(x) का न्यूनतम मान इस पर होता है:

x = 4 / 2 = 2

⇒ f(2) = (2)2 − 4x2 + 6 = 4 − 8 + 6 = 2

चूँकि परवलय ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए f(x) का परिसर [2, ∞) है

लेकिन, sin(θ) ∈ [−1, 1]

⇒ समीकरण के हल तभी होंगे जब x2 − 4x + 6 ∈ [−1, 1]

लेकिन सभी x के लिए f(x) ≥ 2, और 2 > 1

⇒ x का कोई भी मान f(x) ∈ [−1, 1] को संतुष्ट नहीं करता है

∴ वास्तविक हलों की संख्या शून्य है।

संप्रत्यय:

\(tan (A+B)= \frac{tanA+tanB}{1-tanA .tanB} \)

हल:

दिया गया है:

यदि x, y, और z एक त्रिभुज के कोण हैं और z = 135°

⇒ x + y + z = 180^o

⇒ x + y = 180^o - 135^o

⇒ x + y = 45o

⇒ tan (x + y) = tan (45o)

⇒ \(\frac{tanx+tany}{1-tanx .tany} = 1\)

⇒ tan x + tan y = 1 - tan x tan y

दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर,

⇒ 1 + tan x + tan y = 1 - tan x tan y + 1

⇒ 1 + tan x + tan y + tan x tan y = 2

⇒ 1 + tan x + tan y(1 + tan x) = 2

⇒ (1 + tan x) (1+ tan y) = 2

∴ (1 + tan x) (1 + tan y) का मान 2 है। 

गणना:

\( \sin z + \cos z = \sin \frac{3\pi}{4} + \cos \frac{3\pi}{4} \)

हम पदों को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

\( \sin \frac{3\pi}{4} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{4} \right) \) और \( \cos \frac{3\pi}{4} = \cos \left( \pi - \frac{\pi}{4} \right) \)

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं \(\sin (\pi - \theta) = \sin \theta \) और \(\cos (\pi - \theta) = -\cos \theta \) का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है:

\( \sin \frac{3\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} \) और \( \cos \frac{3\pi}{4} = -\cos \frac{\pi}{4} \)

अब, मान प्रतिस्थापित करने पर:

\( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) और \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

इस प्रकार, हमें प्राप्त होता है:

\( \sin z + \cos z = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया,

\(AB + AC = 3\)

मान लीजिए \(AB = x\) और \(AC = 3 - x \) ।

तब,

\(BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{(3 - x)^2 - x^2} = \sqrt{9 - 6x} \)

त्रिभुज का क्षेत्रफल है,

\(A = \tfrac12\,x\,BC = \tfrac12\,x\,\sqrt{9 - 6x}\)

अधिकतम करने के लिए, \(x\) के संबंध में अवकलन करते हैं और शून्य पर सेट करते हैं:

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(x\sqrt{9-6x}\bigr) = \sqrt{9-6x} \;-\;\frac{6x}{2\sqrt{9-6x}} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \)

\(x = 1\) पर, हमें \(BC = \sqrt{9 - 6} = \sqrt{3}\) प्राप्त होता है, अतः

\(A_{\max} = \tfrac12 \times 1 \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

∴ अधिकतम क्षेत्रफल \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) वर्ग इकाई है।

अतः, सही उत्तर विकल्प 1 है।

प्रयुक्त सूत्र:

sec (180° - θ) = - sec θ 

cosec (180° - θ) = cosec θ

cos θ × sec θ = 1 ; sin θ × cosec θ = 1

गणना:

cos 47° sec 133° + sin 44° cosec 136°

⇒ cos 47° × sec (180° - 47) + sin 44° cosec (180° - 44°)

⇒ cos 47° × (- sec 47°) + sin 44° × (cosec 44°)

⇒ -1 + 1 = 0

∴ सही उत्तर 0 है। 

दिया हुआ है:

\(\frac{\cos 45^{\circ }}{\sec 30^{\circ}+ cosec30^{\circ}}\)

प्रयुक्त अवधारणा:​

गणना:

\(\frac{\cos 45^{\circ }}{\sec 30^{\circ}+ cosec30^{\circ}}\)

⇒ \(\frac {\frac {1}{\sqrt2}} {\frac {2}{\sqrt3}+ \frac {2}{1}}\)

⇒ \(\frac {\frac {1}{\sqrt2}} {2(\frac {\sqrt3 + 1}{\sqrt3})}\)

⇒ \(\frac {\sqrt3} {2{\sqrt2}({\sqrt3 + 1})}\)

⇒ \(\frac {\sqrt3({\sqrt3 - 1})} {2{\sqrt2}({\sqrt3 + 1})({\sqrt3 - 1})}\)

⇒ \(\frac {\sqrt3({\sqrt3 - 1})} {2{\sqrt2}({3 - 1)}}\)

⇒ \(\frac {({3 - \sqrt3})} {4{\sqrt2}}\)

⇒ \(\frac {({3\sqrt2 - \sqrt6})} {8}\)

∴ अभीष्ट उत्तर \(\frac {({3\sqrt2 - \sqrt6})} {8}\) है।

दिया गया है:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ

प्रयुक्त अवधारणा:

1. tanα = sinα/cosα

2. cotα = 1/tanα

3. secα = 1/cosα

4. cosecα = 1/sinα

5. (a + b)² - 2ab = a² + b²

6. sin²α + cos²α = 1

गणना:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ

⇒ \(\frac {sin^2θ}{cos^2θ} + \frac {cos^2θ}{sin^2θ} - \frac {1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {sin^4θ + cos^4θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {(sin^2θ + cos^2θ)^2 - 2sin^2θ cos^2θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {(1)^2 - 2sin^2θ cos^2θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {-2sin^2θ cos^2θ}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ -2

∴ अभीष्ट उत्तर -2 है।

Shortcut Trick 

इस प्रश्न को हल करने के लिए मूल्य निर्धारण विधि का प्रयोग करें,

θ = 45° का प्रयोग करें

tan2 θ + cot2 θ  - sec2 θ cosec2 θ

⇒ 12 + 12  - (√2)2(√2)2

⇒ 1 + 1 - 4

⇒ 2 - 4 = - 2

∴ इस प्रश्न का सही उत्तर -2 है।

दिया गया है:

cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A)

प्रयुक्त सूत्र:

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

sin (90 - a) = cos a

गणना:

⇒ sin[90 – (36 – A)]sin[90 – (36 + A)] + cos (54° – A) cos (54° + A)

⇒ sin(54º + A)sin(54º – A) + cos (54° – A)cos (54° + A)

⇒ सर्वसमिका cos(A – B) का उपयोग करने पर,

⇒ cos(54 + A – 54 + A) = cos(2A)

अतः cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A) का मान cos(2A) है।

दिया गया है:

sec θ + tan θ = 5

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि sec θ + tan θ = y

तब sec θ - tan θ = 1/y

गणना:

sec θ + tan θ = 5  ----- (1)

तब,

sec θ - tan θ = 1/5 ------- (2)

समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,

⇒ (sec θ + tan θ) - (sec θ - tan θ) = (5 - 1/5)

⇒ sec θ + tan θ - sec θ + tan θ = 24/5

⇒ 2 × tan θ = 24/5

⇒ tan θ = 12/5

∴ सही उत्तर 12/5 है।

दिया गया है:

cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)

प्रयुक्त अवधारणा:

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sin²a - sin²b = sin(a + b) sin(a - b)

गणना:

cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)

⇒ cos 2A cos 2B - [sin2(A + B) - sin2(A - B)] 

{sin2a - sin2b = sin(a + b) sin(a - b)}

⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + B + A - B) sin(A + B - A + B)]

⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + A) sin(B + B)]

⇒ cos 2A cos 2B - sin 2A sin 2B

⇒ cos (2A + 2B)

∴ अभीष्ट उत्तर cos (2A + 2B) है।

संकल्पना:

sin (2nπ ± θ) = ±  sin θ

sin (90 + θ) = cos θ

गणना:

दिया गया है कि:  sin (1920°)

⇒ sin (1920°) = sin(360° × 5° + 120°) = sin (120°)

दिया गया है:

{(3Sinθ - Cosθ)/(Cosθ + Synθ)} = 1

गणना:

हमारे पास एक त्रिकोणमितीय समीकरण है

{(3Sinθ - Cosθ)/(Cosθ + Synθ)} = 1

अंश और हर को Sinθ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ [{(3sinθ – cosθ)/Sinθ}/{(cosθ + sinθ)/sinθ}] = 1

⇒ {(3 – cotθ)/(cotθ + 1)} = 1

⇒ 3 – cotθ = 1 + cotθ

⇒ 2cotθ = 2

cotθ = 1

मान 1 है।

दिया गया है:

sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x 

प्रयुक्त सूत्र:

sin C + sin D = 2 × sin (C + D)/2 × cos (C - D)/2

cos 2θ = (2 × cos2 θ  - 1)

गणना:

sin 6x + sin 2x + 2 sin 4x

⇒ 2 × sin (6x + 2x)/2 × cos (6x - 2x)/2 + 2 sin 4x

⇒ 2 × sin 4x × cos 2x + 2 sin 4x

⇒ 2 × sin 4x (cos 2x + 1)

⇒ 2 × sin 4x {(2 × cos2x - 1) + 1) }

⇒ (2 × sin 4x) × (2 × cos2 x) 

⇒ 4 cos2 ×  sin 4x

∴ सही उत्तर 4 cos2 × sin 4x है।

दिया गया है:

a cot θ + b cosec θ = p

b cot θ + a cosec θ = q

प्रयुक्त सूत्र:

Cosec2 θ - cot2 θ = 1

गणना:

a cot θ + b cosec θ = p

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

(a cot θ + b cosec θ)2 = (p)2

a² cot² θ + b2 cosec2 θ + 2 × ab cot θ × cosec θ = p² ----- (1)

b cot θ + a cosec θ = q

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

(b cot θ + a cosec θ)2 = (q)2

b2 cot2 θ  + a2 cosec2 θ  + 2 × ab cot θ × cosec θ = q2 ----- (2)

समीकरण (1) और (2) को घटाने पर

⇒ (p2 - q2) = a2 cot2 θ  + b2 cosec2 θ  + 2 × ab × cot θ × cosec θ - (b2 cot2 θ + a2 cosec2 θ  + 2 × ab × cot θ × cosec θ)

⇒ a2 cot2 θ - a2 cosec2 θ + b2 cosec2 θ - b2 cot2 θ