Integral Calculus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Integral Calculus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

\( \int x^2 e^{-2x} \, dx = e^{-2x} (ax^2 + bx + c) + D \)

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

\( x^2 e^{-2x} = e^{-2x} (2ax + b) + (ax^2 + bx + c)(-2e^{-2x}) \)

\( = e^{-2x} \left[ -2ax^2 + 2(a - b) \right] + (x + b - 2c) \)

\( \Rightarrow a = 1, 2(a - b) = 0, b - 2c = 0 \)

\( \Rightarrow a = 1, b = 1 \text{ और } c = \frac{1}{2} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

\( \int x^2 e^{-2x} \, dx = e^{-2x} (ax^2 + bx + c) + D \)

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

\( x^2 e^{-2x} = e^{-2x} (2ax + b) + (ax^2 + bx + c)(-2e^{-2x}) \)

\( = e^{-2x} \left[ -2ax^2 + 2(a - b) \right] + (x + b - 2c) \)

\( \Rightarrow a = 1, 2(a - b) = 0, b - 2c = 0 \)

\( \Rightarrow a = 1, b = 1 \text{ और } c = \frac{1}{2} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

\( \int x^2 e^{-2x} \, dx = e^{-2x} (ax^2 + bx + c) + D \)

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

\( x^2 e^{-2x} = e^{-2x} (2ax + b) + (ax^2 + bx + c)(-2e^{-2x}) \)

\( = e^{-2x} \left[ -2ax^2 + 2(a - b) \right] + (x + b - 2c) \)

\( \Rightarrow a = 1, 2(a - b) = 0, b - 2c = 0 \)

\( \Rightarrow a = 1, b = 1 \text{ और } c = \frac{1}{2} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है: \(f(0) = 0 \) & \(f'(1) = 0\) और \(f(1) = \frac{1}{2}\)

\(\therefore f(x) = \frac{2x - x^2}{2}\)

\(f^{-1}(x)\), \(y = x\) पर \(f(x)\) का प्रतिबिंब है। 

साथ ही, \(2x + 2y = 3\) \(A(1, \frac{1}{2})\) और \(B(\frac{1}{2}, 1)\) से होकर गुजरता है। 

इस प्रकार परिबद्ध क्षेत्र \(A\)

\(= AreaOAB = 2[Area OCM + Area CMNA - Area ONA]\)

\(A = 2[\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{2} (\frac{3}{4} + \frac{1}{2}) \times \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \int_0^1 (2x - x^2) , dx]\)

\(\Rightarrow A = 2[\frac{9}{32} + \frac{5}{32} - [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^1]\)

\(\Rightarrow A = 2[\frac{14}{32} -(1 - \frac{1}{3})] \)
\(​\Rightarrow A = \frac{28}{32} - \frac{2}{3} = \frac{7}{8} - \frac{2}{3} \) \(\Rightarrow A = \frac{21 - 16}{24} = \frac{5}{24} \)

⇒  48A = 10

गणना:

दिया गया है,

फलन \( f(x) = \lfloor x^2 \rfloor \) है। 

हमें \( \int_{\sqrt{2}}^{2} f(x) dx \) का मान ज्ञात करना है।

हम समाकल को दो भागों में इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:

\( \int_{\sqrt{2}}^{2} f(x) dx = \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} 3 dx \)

परिसर \( \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{3} \) के लिए, \( \lfloor x^2 \rfloor = 2 \) है। 

इसलिए, समाकल का पहला भाग है:

\( \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx = 2 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \)

परिसर \( \sqrt{3} \leq x \leq 2 \) के लिए, \( \lfloor x^2 \rfloor = 3 \) है। 

इसलिए, समाकल का दूसरा भाग है:

\( \int_{\sqrt{3}}^{2} 3 dx = 3 \times (2 - \sqrt{3}) \)

अब, हम मानों की गणना करते हैं:

\( 2 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \)

\( 3 \times (2 - \sqrt{3}) = 6 - 3\sqrt{3} \)

दोनों भागों को मिलाने पर:

\( 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3} = 6 - 2\sqrt{2} - \sqrt{3} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

निश्चित समाकल गुण:

\(\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;dx}} = \mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{x}}} \right){\rm{\;dx}}\)
गणना:

माना कि f(x) = x(1 – x)⁹

अब गुण का प्रयोग करने पर, \(\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;dx}} = \mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{x}}} \right){\rm{\;dx}}\)

\(\mathop \smallint \nolimits_0^1 {\rm{x}}{(1 - {\rm{x}})^9}{\rm{dx}} = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {1 - {\rm{x}}} \right){\left\{ {1 - \left( {1 - {\rm{x}}} \right)} \right\}^9}{\rm{dx}}\)

\(= \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {1 - {\rm{x}}} \right){{\rm{x}}^9}{\rm{dx}}\)

\(= \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {{{\rm{x}}^9} - {{\rm{x}}^{10}}} \right){\rm{dx}}\)

\(= \left[ {\frac{{{{\rm{x}}^{10}}}}{{10}} - \frac{{{{\rm{x}}^{11}}}}{{11}}} \right]_0^1\)

= 1/10 – 1/11

= 1/110

∴ समाकलन \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 {\rm{x}}{(1 - {\rm{x}})^9}{\rm{dx}}\) का मान 1/110 है।

संकल्पना:

\(\rm \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\; \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c\)

गणना:

माना कि I = \(\displaystyle\int_0^2 \rm \dfrac{dx}{x^2+4}\) है। 

= \(\displaystyle\int_0^2 \rm \dfrac{dx}{x^2+2^2}\)

\(= \rm [\frac{1}{2}\; \tan^{-1}(\frac{x}{2})] _{0}^{2}\)

\(= \rm [\frac{1}{2}\; \tan^{-1}1 -\frac{1}{2}\; \tan^{-1}0 ]\)

\(= \rm \frac{1}{2}\times \frac{\pi}{4} - 0\)

= \(\rm \dfrac{\pi}{8}\)

संकल्पना:

x = a और x = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = \(\rm\int_{a}^{b}ydx\)

y = a और y = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = \(\rm\int_{a}^{b}xdy\)

गणना:

यहाँ, x² = y  और रेखा y = 1 परवलय को काटती है। 

∴ x² = 1

x = 1 और -1

अब, 

\( \text{Area =}\int_{-1}^{1} y d x \)

यहां, वक्र  y- अक्ष के सममित है, हम एक तरफ क्षेत्र को पा सकते हैं और फिर इसे 2 से गुणा कर सकते हैं, हम क्षेत्रफल को प्राप्त करेंगे, 

\( \text{Area } -1= \int_{0}^{1} y d x \)

\( \text{Area}_1 = \int_{0}^{1} x^{2} d x \)

\(= \rm\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\)

यह क्षेत्र y = x2 और x-axis के बीच है I

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें इस क्षेत्रफल को वर्ग के क्षेत्रफल से घटाना होगा अर्थात।

\((1 \times 1)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)

\(Total\;Area=2\times{\frac{2}{3}} =\frac{4}{3}\) वर्ग इकाई I

संकल्पना:

\(\rm \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)

गणना:

I = \(\rm \int_0^1 x \sqrt{x^2 + 4}\;dx\)

माना कि x² + 4 = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 2xdx = dt

⇒ xdx = \(\rm \frac {dt}{2}\)

अब,

I = \(\rm \frac{1}{2}\int_4^5 \sqrt{t}\;dt\)

= \(\rm \frac{1}{2} \left[\frac{t^{3/2}}{\frac{3}{2}} \right ]_4^5\)

= \(\rm \frac{1}{3} \left[5^{3/2} - 4^{3/2} \right ]\)

= \(\rm \frac{1}{3}[5\sqrt 5 - 8]\)

संकल्पना:

1 + cos 2x = 2cos² x

1 - cos 2x = 2sin² x

\(\rm \int \cos x\;dx = \sin x + c\)

गणना:

I = \(\rm \int cos^2 x\;dx\)

= \(\rm \int \frac{1+\cos 2x}{2}\;dx\)

= \(\rm \frac{1}{2}\int (1+\cos 2x)\;dx\)

= \(\rm \frac{1}{2} \left[x+\frac{\sin 2x}{2} \right ] + c\)

= \(\rm \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4} + c\)

संकल्पना:

\(\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{x}}} \right){\rm{dx}}\)

गणना:

माना कि I = \(\rm \int _{0}^{2π} \frac{\sin 2x}{a -b\cos x}dx\)  है।        ----(1)

गुण f(a + b – x) का प्रयोग करने पर,

I = \(\rm \int _{0}^{2π} \frac{\sin 2(2π -x)}{a -b\cos (2π -x) }dx\)   

चूँकि हम जानते हैं, sin (2π - x) = - sin x और cos (2π - x) = cos x

I = \(\rm \int _{0}^{2π} \frac{-\sin 2x}{a -b\cos x}dx\)         ----(2)       

I = -I

2I = 0

∴ I = 0

संकल्पना:

\(\rm \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)

गणना:

I = \(\rm \int_{1}^{\infty} \frac{4}{x^4}dx\)

= \(\rm \int_{1}^{\infty}4{x^{-4}}dx\)

= \(\rm \left[\frac{4x^{-3}}{-3} \right ]_1^{\infty}\)

= \(\rm \frac{-4}{3}\left[\frac{1}{x^3} \right ]_1^{\infty}\)

= \(\rm \frac{-4}{3}\left[\frac{1}{\infty} - \frac{1}{1}\right ]\)

= \(\rm \frac{-4}{3}[0-1]\)

= \(\frac 4 3\)

अवधारणा:

\(\rm \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx = \displaystyle\int_{a}^{b} f(a+b-x) dx\)

गणना:

मान लीजिए कि, I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+ \sqrt{\cos x}}dx\)             ....(1)

I = \(\rm \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)}+ \sqrt{\cos (\dfrac{\pi}{2}-x)}}dx\)

I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+ \sqrt{\sin x}}dx\)                           ....(2)

(1) और (2) जोड़कर हमारे पास है

2I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\cos x}+ \sqrt{sinx}}{\sqrt{\cos x}+ \sqrt{\sin x}}dx\)

2I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2}dx\)

2I = \(\rm[x]^\frac{\pi}{2}_0\)

I = \(\dfrac{\pi}{4}\)

अवधारणा:

\(\int\sqrt{a^2-x^2}\;dx=\frac{x}{2} {\sqrt{x^2-a^2}}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{x}{a}+c\)

फलन y = √f(x), f(x) 0 के लिए परिभाषित है। इसलिए y ऋणात्मक नहीं हो सकता।

गणना:

दिया गया है:

y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\) और x - अक्ष 

x - अक्ष पर, y शून्य होगा। 

y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\)

⇒ 0 = \(\rm \sqrt{16-x^2}\)

⇒ 16 - x² = 0

⇒ x2 = 16

∴ x = ± 4

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु (4, 0) और (−4, 0) हैं। 

चूँकि, वक्र y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\) है

तो, y ≥ o [सदैव]

तो, हम वृत्ताकार भाग लेंगे जो x-अक्ष के ऊपर है

वक्र का क्षेत्रफल, A \(\rm =\int_{-4}^{4}\sqrt{16-x^2}\;dx\)

हम जानते हैं कि,

\(\int√{a^2-x^2}\;dx=\frac{x}{2} {√{x^2-a^2}}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{x}{a}+c\)

= \( \rm [ \frac x 2 \sqrt{(4^2- x^2) }+ \frac {16}{2}sin^{-1} \frac x4]_{-4}^{4 }\) 

= \( \rm [ \frac x 2 \sqrt{(4^2- 4^2) }+ \frac {16}{2}sin^{-1} \frac 44]- \rm [ \frac x 2 \sqrt{(4^2- (-4)^2) }+ \frac {16}{2}sin^{-1} \frac {4}{-4})]\)

= 8 sin-1 (1) + 8 sin-1 (1)

= 16 sin-1 (1)

= 16 × π/2

= 8π वर्ग इकाई 

संकल्पना:

\(\rm \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx= \sin^{-1 } \left(\frac{x}{a} \right ) + c\)

गणना:

I = \(\rm \int \frac {1}{\sqrt{16-25x^2}}dx\)

= \(\rm \int \frac {1}{\sqrt{16-(5x)^2}}dx\)

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = \(\rm \frac {dt}{5}\)

अब, 

I = \(\rm \frac {1}{5}\int \frac {1}{\sqrt{4^2-t^2}} dt\)

= \(\rm \frac 1 5 \sin^{-1} \left(\frac t 4 \right)\) + c

= \(\rm \frac 1 5 \sin^{-1} \left(\frac {5x} {4} \right)\) + c