Binomial Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

द्विपद गुणांकों का योग और महत्तम द्विपद गुणांक:

• \( (x + y)^n \) के प्रसार में द्विपद गुणांकों का योग x = 1 और y = 1 प्रतिस्थापित करके परिकलित किया जाता है। परिणाम \(2^n\) है।
• महत्तम द्विपद गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम गुणांकों \(C(n, r)\) का विश्लेषण करते हैं जहाँ r प्रसार में पद सूचकांक है। महत्तम गुणांक मध्य पद (पदों) के पास होता है।
• मुख्य सूत्र:
  • द्विपद गुणांकों का योग: \( \text{Sum} = 2^n \)
  • द्विपद गुणांक: \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)
  • महत्तम द्विपद गुणांक: सम n के लिए, यह r = n/2 पर होता है। विषम n के लिए, यह r = (n-1)/2 और r = (n+1)/2 पर होता है।

गणना:

दिया गया है,

द्विपद गुणांकों का योग = \(2^n = 256\)

हम n की गणना करते हैं:

\( 2^n = 256 \)

⇒ \(2^8 = 256\)

महत्तम द्विपद गुणांक:

\( n = 8 \) (सम) के लिए, सबसे बड़ा द्विपद गुणांक \( r = n/2 = 8/2 = 4 \) पर होता है।

⇒ पद सूचकांक r = 4 है, जो 5वें पद (चूँकि अनुक्रमण 0 से शुरू होता है) से मेल खाता है।

∴ सबसे बड़ा द्विपद गुणांक 5वें पद में होता है।

संप्रत्यय:

(a + b)ⁿ के द्विपद प्रसार में एक पद T_k+1 = C(n, k) × a^n-k × b^k द्वारा दिया जाता है।

किसी पद के परिमेय होने के लिए, √3 और 5^1/4 दोनों के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।

प्रयुक्त सूत्र:

(√3)^n-k में, इसके परिमेय होने के लिए n-k सम होना चाहिए।

(5^1/4)^k में, इसके परिमेय होने के लिए k, 4 का गुणज होना चाहिए।

गणना:

माना n = 12:

⇒ (√3)^n-k के परिमेय होने के लिए, n-k सम होना चाहिए।

⇒ चूँकि n = 12 है, इसलिए k भी सम होना चाहिए।

⇒ (5^1/4)^k के परिमेय होने के लिए, k, 4 का गुणज होना चाहिए।

⇒ k के मान जो दोनों शर्तों (k सम है और 4 का गुणज है) को संतुष्ट करते हैं:

⇒ k = 0, 4, 8, और 12

⇒ ये प्रसार में 4 परिमेय पदों के संगत हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

\(\displaystyle \sum_{\mathrm{k}=0}^{6}{ }^{51-\mathrm{k}} \mathrm{C}_{3}\)

= ⁵¹C₃ + ⁵⁰C₃ + ⁴⁹C₃ +.....+ ⁴⁵C₃

= ⁴⁵C₃ + ⁴⁶C₃ +.....+ ⁵¹C₃

= ⁴⁵C₄ + ⁴⁵C₃ + ⁴⁶C₃ +.....+ ⁵¹C₃ - ⁴⁵C₄

= (ⁿC_r + ⁿC_r-1 = ⁿ⁺¹C_r)

= ⁵²C₄ - ⁴⁵C₄

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

संप्रत्यय:

द्विपद प्रसार और अधिकतम पद:

• द्विपद प्रसार में, सामान्य पद को के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
• जहाँ द्विपद गुणांक है, जो अवयवों में से अवयवों को चुनने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है।
• द्विपद प्रसार में सबसे बड़ा पद तब होता है जब (लगभग), और हम के इस मान के संगत पद को ज्ञात करते हैं।
• किसी भी वास्तविक संख्या के लिए, सबसे बड़ा पद एक विशिष्ट मान पर होता है जो द्विपद गुणांक को अधिकतम करता है।

गणना:

हमें निम्नलिखित समीकरण दिया गया है:

• हमें का मान ज्ञात करना है जहाँ सबसे बड़ा पद है।

के द्विपद प्रसार की तुलना करके, हम के मान का निर्धारण कर सकते हैं जहाँ गुणांक अधिकतम होता है।

सबसे पहले, द्विपद प्रसार का सामान्य पद ज्ञात कीजिए:

क्रमागत पदों का अनुपात अधिकतम पद को निर्धारित करने में मदद करता है:

अनुपात को सरल करने पर मिलता है:

का मान ज्ञात करने के लिए रखें:

के लिए हल करें:

निष्कर्ष:

इसलिए, पद को अधिकतम करने वाला r का मान है।

संप्रत्यय:

• बहुपद प्रसार: (a + b + c)ⁿ के रूप के व्यंजक के लिए, प्रसार में प्रत्येक पद इस रूप का होता है:  (n! / (r₁! r₂! r₃!)) × a^r₁ × b^r₂ × c^r₃ जहाँ r₁ + r₂ + r₃ = n
• अचर पद: x⁰ (अर्थात कोई x नहीं) वाला पद अचर पद कहलाता है।
• हम x के कुल घातांक को शून्य बनाने वाले घातों के संयोजन को ज्ञात करने के लिए बहुपद प्रमेय लागू करते हैं।

गणना:

हमें दिया गया है:  

माना उभयनिष्ठ पद है: (5! / (r₁! r₂! r₃!)) × (2x)^r₁ × (1/x⁷)^r₂ × (3x²)^r₃

जहाँ, r₁ + r₂ + r₃ = 5

x की कुल घात = r₁ × 1 − 7r₂ + 2r₃

हम अचर पद चाहते हैं

⇒ x की कुल घात = 0

इसलिए, r₁ − 7r₂ + 2r₃ = 0 ...(i)

और r₁ + r₂ + r₃ = 5 ...(ii)

दोनों समीकरणों को हल करते हैं:

(ii) से: r₃ = 5 − r₁ − r₂

(i) में प्रतिस्थापित करते हैं:

r₁ − 7r₂ + 2(5 − r₁ − r₂) = 0

⇒ r₁ − 7r₂ + 10 − 2r₁ − 2r₂ = 0

⇒ −r₁ − 9r₂ + 10 = 0

⇒ r₁ = 10 − 9r₂

r₂ के पूर्णांक मानों का प्रयास करते हैं, ताकि r₁ और r₃ भी पूर्णांक ≥ 0 हों

यदि r₂ = 1 ⇒ r₁ = 1, r₃ = 5 − 1 − 1 = 3 

अब गुणांक की गणना करते हैं:

पद = 5! / (1! × 1! × 3!) × (2x)¹ × (1/x⁷)¹ × (3x²)³

= 120 / (1 × 1 × 6) × 2x × 1/x⁷ × 27x⁶

= 20 × 2 × 27 = 1080

∴ प्रसार में अचर पद 1080 है।

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} × {x^{n - r}} × {y^r}\)

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)और\(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\)दो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें \(\rm \left(2x + \frac 1 x \right)^{8}\) के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 8 (n सम संख्या है।)

∴ मध्य पद = \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{8}{2} + 1} \right) =5th\;term\)

T5 = T (4 + 1) = 8C4 × (2x) (8 - 4) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^4\)

T5 =  8C4 × 24

अवधारणा:

(1 + x)n = nC0 × 1(n-0) × x 0+ nC1 × 1(n-1) × x 1 + nC2  × 1(n-2) × x2 + …. + nCn  × 1(n-n) × xn

G.P. का n^वां पद an = arⁿ⁻¹ है

n पदों का योग = s = \(a (r^n-1)\over(r- 1)\); जहाँ r >1

n पदों का योग = s = \(a (1- r^n)\over(1- r)\); जहाँ r <1

गणना:

C(n, 1) + C(n, 2) + _ _ _ _  _ + C(n, n) 

⇒ nC1 + nC2 + ... + nCn 

⇒ nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn - nC0

⇒ (1 + 1)n - nCo 

⇒ 2n - 1 = \(\rm 2^n - 1\over 2-1\) = 1 × \(\rm 2^n - 1\over 2-1\)

G.P योग = a × \(\rm r^n - 1\over r-1\), के साथ इसकी तुलना करना हमें a = 1 और r = 2 मिलता है

∴ 2n - 1 = 1 + 2 + 2² + ... +2^n-1 जो हमें कुल में n पद देगा।

अवधारणा:

\(\rm ^n C_r = {n!\over(r!(n - r)!)}\)

(1 + x)ⁿ = ⁿC₀ × 1^(n-0) × x ⁰+ ⁿC₁ × 1^(n-1) × x ¹ + ⁿC₂  × 1(n-2) × x² + …. + ⁿC_n  × 1(n-n) × xⁿ

गणना:

दिया गया विस्तार (1 + x)²ⁿ है

= ²ⁿC₀ ×1^(2n-0) × x⁰ +  2nC₁ ×1(2n-1) × x¹ + ... +  2nC_2n ×1(2n-2n) × x²ⁿ

पहला पद = 2nC0 ×1 × 1 = 1

अंतिम पद =  2nC_2n ×1 × x²ⁿ = 1 × x²ⁿ = x²ⁿ

⇒ योग = 1 + x²ⁿ

1 का गुणांक = 1, x2n का गुणांक = 1

∴  तो, गुणांकों का योग = 1 + 1 = 2

अवधारणा:

(a + b)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है: Tr + 1 = nCr ⋅ an – r ⋅ br

नोट: (a + b)n के विस्तार में अंत से rवां पद प्रारंभ से [(n + 1) – r + 1] = (n – r + 2)वां पद है।

(a + b)n के विस्तार में मध्य पद \(\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)th\) पद है यदि n सम है।

(a + b)n के विस्तार में यदि n विषम है तो दो मध्य पद हैं जो निम्नलिखित हैं:\(\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)th\;and\;\left( {\frac{{n + 1}}{2} + 1} \right)th\;term\)

गणना:

दिया हुआ: (x + 3)6 

यहाँ, n = 6

∵ n = 6 और यह सम संख्या है।

जैसा कि हम जानते हैं कि (a + b)n के विस्तार में मध्य पद \(\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)th\) पद है यदि n सम है।

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} × {x^{n - r}} × {y^r}\)

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)और\(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\)दो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें \(\rm \left(2x + \frac 1 x \right)^{5}\) के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 5 (n विषम संख्या है।)

∴ मध्य पद =  \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)and \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) = तीसरा और चौथा

T3 = T (2 + 1) = 5C2 × (2x) (5 - 2) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^2\)  और T4 = T (3 + 1) = 5C3 × (2x) (5 - 3) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^3\) 

T3 =  5C2 × (2³x) और T4 = 5C3 × 2² × \(\rm \frac 1 x\)

T3 = 80x और  T4 = \(\rm \frac {40}{x}\)

अतः विस्तार का मध्य पद 80x और \(\rm \frac {40}{x}\) है। 

संकल्पना:

(1 + x)n का प्रसरण:

\(\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\)

गणना:

दिया गया है: (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद (-1/8)x² है। 

\(\rm (1+x)^m= 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}x^3 +....\)

इसलिए, (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद\(\rm \frac{m(m-1)}{2!}x^2\) है। 

\(\rm \frac{m(m-1)}{2!}x^2\) = (-1/8)x²

⇒ \(\rm \frac{m(m-1)}{2}= \frac {-1}{8}\)

⇒ 4m² - 4m + 1 = 0

⇒ (2m - 1)² = 0

⇒ 2m - 1 = 0

∴ m = \(\frac 12\)

धारणा:

सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है

• \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} \times {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)

गणना:

दिया गया विस्तार \({\left( {\sqrt {\rm{x}} + \frac{1}{{3{{\rm{x}}^2}}}} \right)^{10}}\) है

सामान्य पद = \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{\frac{{10{\rm{\;}} - {\rm{\;r}}}}{2}}} \times {\left( {\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2}}}} \right)^{\rm{r}}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {3^{ - {\rm{r}}}} \times {{\rm{x}}^{\frac{{10{\rm{\;}} - 5{\rm{\;r}}}}{2}}}\) 

x से स्वतंत्र पद के लिए x की घात शून्य होनी चाहिए

यानी \(\frac{{10{\rm{\;}} - 5{\rm{\;r}}}}{2} = 0\)

⇒ r = 2

धारणा:

सामान्य पद: (x + y)n के द्विपद विस्तार में सामान्य पद इसके द्वारा दिया जाता है

\({T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)

मध्य पद: (x + y)n के विस्तार में मध्य पद n के मान पर निर्भर करता है।

• यदि n सम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए केवल एक मध्य पद है यानी \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है।

\({T_{\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_{\frac{n}{2}}} \times {x^{\frac{n}{2}}} \times {y^{\frac{n}{2}}}\)

• यदि n विषम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं यानी \({\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\)और \({\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) दो मध्य पद हैं।

गणना:

यहाँ हमें (2 + 3x)⁴ के द्विपद विस्तार में मध्य पद के गुणांक को खोजना होगा

यहाँ n = 4 (n सम संख्या है)

∴ मध्य पद = \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{4}{2} + 1} \right) = 3rd\;term\)

T₃ = T _{(2 + 1)} = ⁴C₂ × (2) ^{(4 - 2)} × (3x) ²

T₃ = 6 × 4 × 9x² = 216 x²

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)

(1 + x)ⁿ का विस्तार:

\(\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\)

गणना:

खोजने के लिए: \(\rm (4-5x^2)^{-1/2}\) के विस्तार में x² का गुणांक \(\rm (4-5x^2)^{-1/2} = 4^{-1/2}\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right )^{-1/2}\\ \text{As we know}\;\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\\\therefore 4^{-1/2}\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right )^{-1/2} = 2^{-1}\left[1 + \left(-\frac{5}{4}x^2 \right ) \times (\frac{-1}{2}) + ... \right ]\)

अब, विस्तार में x² का गुणांक = \(2^{-1} \times \frac{-5}{4} \times \frac{-1}{2} = \frac{5}{16}\)

प्रयुक्त सूत्र:

(1 + x)n  = [nC0 + nC1 x + nC2 x2 + … +nCn xn]

• C0 + C1 + C2 + … + Cn = 2n
• C0 + C2 + C4 + … =  2n-1
• C1 + C3 + C5 + … = 2n-1

गणना:

(1 + x)50  = [50C0 + 50C1 x + 50C2 x2 + … +50Cn x50]    ----(1)

यहाँ, n = 50

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, गुणांक के विषम पदों का योग है

S = (50C1 + 50C3­ + 50C5 + ……. + 50C49)

⇒ S = 250-1 = 249

∴ गुणांक के विषम पदों का योग = 249