\(\int_{4}^{1} x \sqrt x dx \) = ?

दिया गया है:

हमें समाकल का मान ज्ञात करना है: \(\int_{4}^{1} x \sqrt x dx \)

प्रयुक्त अवधारणा:

किसी फलन का समाकल घात नियम का उपयोग करके हल किया जा सकता है:

यदि f(x) = xⁿ, तो ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹) / (n+1) + C, जहाँ n ≠ -1 है। 

यहाँ, x√x = x^3/2, इसलिए हम x^3/2 का समाकलन करते हैं।

गणना:

चरण 1: x की घातों के पदों में समाकल लिखें।

\(\int_{4}^{1} x \sqrt x dx \) = \(\int_{4}^{1} x^{\frac {3}{2}} dx \)

चरण 2: समाकलन के घात नियम को लागू करें।

⇒ ∫x^3/2 dx = (x^{(3/2) + 1}) / ((3/2) + 1)

⇒ ∫x^3/2 dx = (x^5/2) / (5/2) ⇒ ∫x^3/2 dx = (2/5) x^5/2

चरण 3: निश्चित समाकल की सीमाओं (4 से 1 तक) को लागू करें।

⇒ \(\int_{4}^{1} x^{\frac {3}{2}} dx \) = [(2/5) x^5/2] ₄¹

चरण 4: समीकरण में सीमाओं को प्रतिस्थापित करें।

x = 4 के लिए: (2/5) × 45/2 = (2/5) × (41/2)5 = (2/5) × (2)5 = (2/5) × 32 = 64/5 = 12.8

x = 1 के लिए: (2/5) × 15/2 = (2/5) × 1 = 2/5 = 0.4

चरण 5: परिणामों को घटाएँ।

⇒ \(\int_{4}^{1} x^{\frac {3}{2}} dx \) = 12.8 - 0.4 = 12.4

निष्कर्ष:

∴ समाकल का मान 12.4 है।

हालाँकि, दिए गए विकल्पों के अनुसार, दिया गया सही उत्तर विकल्प 1: 7 है।