गुणक और गुणनखंड MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Multiples and Factors - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

एक संख्या 720

सूत्र:

किसी संख्या के गुणनखंडों की संख्या निम्न सूत्र का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती है:

(a + 1)(b + 1)(c + 1) ..., जहाँ a, b, c, ... संख्या के अभाज्य गुणनखंड में घातांक हैं।

गणना:

720 का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए

\(720 = 2^4 \times 3^2 \times 5\)

720 के विभाजकों की संख्या ज्ञात कीजिए

विभाजकों की संख्या = (4 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 5 × 3 × 2 = 30

विभाजकों की संख्या से 1 और 720 घटाएं

1 और 720 को छोड़कर 720 के गुणनखंडों की संख्या = 30 - 2 = 28

अतः, संख्या 720 में 1 और स्वयं संख्या को छोड़कर कुल 28 गुणनखंड हैं​।

दिया गया है:

m, n धनात्मक प्राकृत संख्याएँ हैं, और m > n है।

m² - n² = 72

प्रयुक्त सूत्र:

(a² -b²) = (a + b) (a - b)

गणना:

प्रश्नानुसार,

⇒ m2 - n2 = 72

जहाँ,

72 के सभी गुणनखंड युग्म (1, 72) (2, 36) (3, 24) (4, 18) (6, 12) (8, 9) हैं।

हालांकि, प्राकृत संख्याओं (m, n) के केवल तीन युग्म हैं जो समीकरण m2 - n2 = 72, और m > n को संतुष्ट करते हैं।

⇒ (19, 17), (11, 7), और (9, 3).

∴ उपरोक्त शर्तों को पूरा करने वाले युग्मों की अभीष्ट संख्या 3 है।

दिया गया है:

तीन क्रमागत 3 के गुणजों का योग = 72

मान लीजिये संख्याएँ हैं:

मान लीजिये तीन क्रमागत 3 के गुणज हैं: (x − 3), x, (x + 3)

प्रयुक्त सूत्र:

योग = (x − 3) + x + (x + 3) = 3x

गणना:

3x = 72

⇒ x = 72 ÷ 3 = 24

इसलिए, तीन संख्याएँ हैं: 21, 24, और 27

दूसरी सबसे बड़ी संख्या = 24

∴ सही उत्तर है: 24

अवधारणा:

क्रमागत शून्यकों की संख्या ज्ञात करने के लिए हमें गणना में संभावित 2 और 5 की संख्या को अलग करना होगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि 2 और 5 की समान संख्या से ही 10 बनता है।

गणना:

n = 25 × 34 × 75 × 154

⇒ n = 25 × 34 × 75 × (3 × 5)4

⇒ n = 25 × 34 × 75 × 34 × 54

⇒ n = 2 × (2 × 5)4 × 3(4 + 4)  × 75 

⇒ n = 2 × (10)4 × 38  × 75 

⇒ n = 2 × 38  × 75 × 10000

अतः n में क्रमागत शून्यकों की संख्या 4 है।

दिया गया है:

12, 15 और 18 से विभाज्य सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या M ज्ञात कीजिए।

फिर M को 25 से विभाजित करें और भागफल के अंकों का योग ज्ञात करें।

गणना:

12, 15, 18 का LCM ज्ञात कीजिए

⇒ 12 = 2² × 3

⇒ 15 = 3 × 5

⇒ 18 = 2 × 3²

⇒ LCM = 2² × 3² × 5 = 180

⇒ 180 = 2² × 3² × 5

पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, 5 से गुणा करें (5 का वर्ग लुप्त है)

⇒ M = 180 × 5 = 900

⇒ M / 25 = 900 / 25 = 36

36 के अंकों का योग = 3 + 6 = 9

∴ अभीष्ट योग = 9

दिया गया है :

3240

अवधारणा:

यदि k = ax × by, तो, 

a, और b अभाज्य संख्या होनी चाहिए

सभी गुणनखण्डों का योग = (a0 + a1 + a2 + ….. + ax) (b0 + b1 + b2 + ….. + by)

गणना:

3240 = 23 × 34 × 51

गुणनखण्डों का योग = (20 + 21 + 22 + 23) (30 + 31 + 32 + 33 + 34) (50 + 51)

⇒ (1 + 2 + 4 + 8) (1 + 3 + 9 + 27 + 81) (1 + 5)

⇒ 15 × 121 × 6

⇒ 10890

∴ अभीष्ट योग 10890 है

दिया है:

दी गयी संख्या 8¹⁰ × 9⁷ × 7⁸ है।

प्रयुक्त संकल्पना:

यदि एक संख्या x^a × y^b × z^c ...... के रूप में है, तो कुल अभाज्य गुणनखंड = a + b + c ..... और इसी प्रकार आगे भी

जहाँ x, y, z, ... अभाज्य संख्याएँ हैं।

गणना:

संख्या 8¹⁰ × 9⁷ × 7⁸ को (2³)¹⁰ × (3²)⁷ × 7⁸ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

संख्या को 2³⁰ × 3¹⁴ × 7⁸ लिखा जा सकता है।

अभाज्य गुणनखण्डों की कुल संख्या = 30 + 14 + 8

∴ अभाज्य गुणनखण्डों की कुल संख्या 52 है।

दिया गया है:

संख्या = 100

प्रयुक्त सूत्र:

a^m × bⁿ के सभी गुणनखंडों का योगफल (a0 + a1 +......+ a^m) × (b0 + b1 +............+ bⁿ) होता है।

गणना:

100 के गुणनखंड = 2² × 5²

गुणनखंडों का योगफल = (2⁰ + 2¹ + 2²) × (5⁰ + 5¹ + 5²)

⇒ (1 + 2 + 4) × (1 + 5 + 25)

⇒ 7 × 31

⇒ 217

∴ 100 के सभी गुणनखंडों का योगफल 217 है।

दिया है:

196 के गुणनखंडों की संख्या जो 4 से विभाज्य हैं। 

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

संख्या 196 पूर्णतः विभाज्य है = 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98 और 196.

4 से विभाज्य 196 के गुणनखंड = 4, 28, 196

∴ 196 के गुणनखंडों की संख्या 3 है जो 4 से विभाज्य है।

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि N = ap × bq × cr...

तब गुणनखंडों की संख्या = (p + 1)(q + 1)(r + 1).....

गणना:

प्रश्नानुसार,

सर्वप्रथम संख्या 720 का अभाज्य गुणनखंडन करने पर,

720 = 24 × 32 × 51

अवधारणा के साथ तुलना करने पर,

p = 4, q = 2 और r = 1

गुणनखंडों की संख्या = (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1)

⇒ 5 × 3 × 2 = 30

∴ 720 के गुणनखंडों की संख्या 30 है।

उपयोग की गई अवधारणा:

इस प्रकार के प्रश्न में, यदि गुणज स्वयं एक पूर्ण वर्ग है तो गुणजों का वर्गमूल केवल प्राकृतिक संख्या होगी।

हल:

संख्या 2250 को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है = 2 × 3² × 5³

दिया गया है:

दी गई संख्या 480 है।

प्रयुक्त सूत्र:

यदि एक संख्या N का अभाज्य गुणनखंडन = a^p × b^q × c^r × ......

तो, N के गुणनखंडों की कुल संख्या = (p + 1) × (q + 1) × (r + 1) × ......

गणना:

यहाँ

480 का अभाज्य गुणनखंडन = 2⁵ × 3¹ × 5¹

इसलिए, गुणनखंडों की कुल संख्या = (5 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1)

⇒ 6 × 2 × 2

⇒ 24

∴ 480 के गुणनखंडों की कुल संख्या 24 है।

गणना:

⇒ 213 + 214 + 215 + 216 + 217

⇒ 213 (1+ 21 + 22 + 23 + 24)

⇒ 213 (1 + 2 + 4 + 8 + 16)

⇒ 213 × (31)

∴ 213 + 214 + 215 + 216 + 217, 31 का एक गुणक है।

प्रयुक्त अवधारणा:

संख्या =  ap × bq × cr...

कुल गुणनखंडों की संख्या = (p + 1)(q + 1)(r + 1) ...

विषम गुणनखंडों की कुल संख्या =  (q + 1)(r + 1)...., यदि 'a' एक सम अभाज्य संख्या है।

यहाँ, a, b, c, आदि अभाज्य संख्याएँ हैं।

गणना:

378 का अभाज्य गुणनखंड:

378 = 2 ¹ × 3 ³ × 7 ¹

इसलिए, 378 के गुणनखंडों की कुल संख्या

⇒ (1 + 1)(3 + 1)(1 + 1)

⇒ 2 × 4 × 2 = 16

निष्कर्ष:

संख्या 378 को विद्यार्थियों में 16 अलग-अलग तरीकों से बराबर-बराबर बांटा जा सकता है, क्योंकि इसके 16 गुणनखंड हैं। इसलिए, आपका हल सही है।

अतः तरीकों की अभीष्ट संख्या = 16

प्रयुक्त अवधारणा:

प्रत्येक पूर्णांक को कुछ अभाज्य संख्याओं के गुणनखंडों या उन अभाज्य संख्याओं के बहुपदों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

प्रयुक्त सूत्र:

यदि एक संख्या N को निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है

N = am ×  bⁿ × c^p (जहाँ a, b और c अभाज्य संख्याएँ हैं)

तब गुणनखंडों की कुल संख्या (m + 1) × (n + 1) × (p + 1) के बराबर होती है

गणना: 

540 के गुणनखंड वे संख्याएँ हैं, जिन्हें युग्मों में गुणा करने पर गुणनफल 540 प्राप्त होता है।

540 के 24 गुणनखंड हैं, जिनमें से इसके निम्नलिखित अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5 हैं।

540 का अभाज्य गुणनखंड 2² × 3³ × 5¹ है

यहाँ, m = 2, n = 3 , p = 1

540 के गुणनखंडों की कुल संख्या है: 

⇒ (2 + 1) × (3 + 1) × (1 + 1) = 24

इसलिए, 540 के गुणनखंडों की कुल संख्या है = 24

अतः सही उत्तर "24" है।