घातांक और करणी MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Surds and Indices - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

\(\sqrt{361}=?-14^2-17\times 7\)

19 = x - 196 - 119

x = 19 + 196 + 119

x = 334

∴ सही उत्तर 334 है।

प्रयुक्त सूत्र:

BODMAS 

गणना:

[{(9261)1/3 ÷ 811/4}2 × \(\sqrt[4]{1296}\) ]

⇒[{ (213)1/3 ÷ 34 × 1/4}2 × 64 × 1/4 ]

⇒ [{21/3}2 × 6]

⇒ [49 × 6 ] = 294

अतः, अभीष्ट मान 294 है।

दिया गया है:

\(\left( \frac{11}{10} \right)^7 \times \left( \frac{10}{11} \right)^{10} \times \left( \frac{11}{10} \right)^9 = \left( \frac{10}{11} \right)^{3m+17}\)

प्रयुक्त सूत्र:

\(a^m \times a^n = a^{m+n}\) और \(\left( \frac{a}{b} \right)^n = \left( \frac{b}{a} \right)^{-n}\)

गणना:

समान आधार की घातों को मिलाएँ:

\(\left( \frac{11}{10} \right)^7 \times \left( \frac{11}{10} \right)^9 = \left( \frac{11}{10} \right)^{16}\)

अब व्यंजक बन जाता है:

\(\left( \frac{11}{10} \right)^{16} \times \left( \frac{10}{11} \right)^{10}\)

\(\left( \frac{10}{11} \right)\) आधार में सब कुछ लिखें:

\(\left( \frac{11}{10} \right)^{16} = \left( \frac{10}{11} \right)^{-16}\)

इसलिए पूरा व्यंजक बन जाता है:

\(\left( \frac{10}{11} \right)^{-16} \times \left( \frac{10}{11} \right)^{10} = \left( \frac{10}{11} \right)^{-6}\)

अब घातों की तुलना करें:

\(-6 = 3m + 17\)

⇒ \(3m = -6 - 17 = -23\)

⇒ \(m = \frac{-23}{3}\)

इसलिए सही उत्तर \(-\frac{23}{3}\) है।

दिया गया है:

यदि x - (1/x) = 4

प्रयुक्त सूत्र:

x³ - (1/x³) = (x - (1/x))³ + 3(x - (1/x))

गणना:

x - (1/x) = 4

⇒ x³ - (1/x³) = (4)³ + 3 x (4)

⇒ x³ - (1/x³) = 64 + 12

⇒ x³ - (1/x³) = 76

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है। 

दिया गया है:

सरल कीजिए: √⁶(729) + √⁴(65536) + ∛(5832) + √(1764)

प्रयुक्त सूत्र:

1. √ⁿ(x) = x^1/n

2. ∛(x) = x^1/3

3. √(x) = x^1/2

गणना:

√⁶(729) = 729^1/6

⇒ 729 = 3⁶

⇒ 729^1/6 = 3

√⁴(65536) = 65536^1/4

⇒ 65536 = 2¹⁶

⇒ 65536^1/4 = 2⁴ = 16

∛(5832) = 5832^1/3

⇒ 5832 = 18³

⇒ 5832^1/3 = 18

√(1764) = 1764^1/2

⇒ 1764 = 42²

⇒ 1764^1/2 = 42

सभी को जोड़ने पर:

⇒ 3 + 16 + 18 + 42 = 79

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

उपयोग किया गया सूत्र:

(a + b) ² = a ² + b ² + 2ab

गणना:

दिया गया व्यंजक है:

​\(\sqrt {8\; + \;2\sqrt {15} \;} \)​​​

⇒ \(\sqrt {5\; + \;3\; + \;2\times \sqrt 5 \times \sqrt 3 \;} \)

⇒  \(\sqrt {{{(\sqrt 5 )}^2}\; + \;{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}\; + \;2 \times \sqrt 5 \times \sqrt 3 \;} \)

⇒  \(\sqrt {{{\left( {\;\sqrt 5 \; + \;\sqrt 3 \;} \right)}^2}\;} \)

⇒  \(\sqrt 5 + \sqrt 3 \)

संकल्पना:

हम गुणनखंडन विधि का प्रयोग करके √x ज्ञात कर सकते हैं

गणणा:

√[(10 + √25) (12 - √49)]

⇒ √[(10 + 5)(12 – 7)]

⇒ √(15 × 5)

⇒ √(3 × 5 × 5)

⇒ 5√3

दिया गया है,

2³ × 3⁴ × 1080 ÷ 15 = 6^x

⇒ 2³ × 3⁴ × 72 = 6^x

⇒ 2³ × 3⁴ × (2 × 6²) = 6^x

⇒ 2⁴ × 3⁴ × 6² = 6^x

⇒ (2 × 3)⁴ × 6² = 6^x           [∵ x^m × y^m = (xy)^m]

⇒ 6⁴ × 6² = 6^x

⇒ 6^{(4 + 2)} = 6^x

⇒ x = 6

दिया गया है:

√3n = 729

प्रयुक्त सूत्र:

(x^a)^b = x^ab

यदि x^a = x^b है तब a = b 

गणना:

√3n = 729

⇒ √3n = (3²)³

⇒ (3n)^1/2 = (32)3

⇒ (3n)1/2 = 3⁶

⇒ n/2 = 6 

∴  n = 12 

विधि I: (3 + 2√5)²

= (3² + (2√5)² + 2 × 3 × 2√5)

= 9 + 20 + 12√5 = 29 + 12√5

तुलना करने पर, 29 + 12√5 = 29 + K√5

हमें मिलता है,

K = 12

Alternate Method 

29 + 12√5 = 29 + K√5

⇒ K√5 = 29 - 29 + 12√5

⇒ K√5 = 12√5

∴ K = 12

कथन I:

2√3 > 3√2
ऊपर दिए गए संबंध की जाँच करने के लिए कि यह सही है या नहीं, दोनों पक्षों को वर्ग करके सरल करिए।

⇒ (2√3)2 > (3√2)2

⇒ 12 > 18 जो सत्य नहीं है, जैसा कि हम जानते हैं कि 18, 12 से बड़ा है।

इसलिए, कथन I में दिया गया संबंध सत्य नहीं है।

कथन II:
अब, कथन II में दिए गए मानों को सरल करने पर

(नोट: 2√8 = 2√(4 × 2) = 4√2)

4√2 > 2√8 दाएँ पक्ष का वर्गमूल लेने पर।

⇒ 4√2 > 2 × 2√2

⇒ 4√2 > 4√2 जो सत्य नहीं है, क्योंकि बाएँ पक्ष का मान दाएँ पक्ष के मान के बराबर है।
अतः, कथन II में दिया गया संबंध भी सत्य नहीं है।

दिया है:

(3/5)x = 81/625

गणना:

हम जानते है,

34 = 81 और 54 = 625

⇒ (3/5)4 = 81/625

(3/5)x = 81/625

∴ दोनों समीकरण की तुलना करने पर, हमें मिलता है

x = 4

अब, 

 xx  = 44 = 256

इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए नीचे दिए गए “करणी और घातांक” के नियमों का पालन कीजिए:

घातांक के नियम:

1. a^m × aⁿ = a^{{m + n}}

2. a^m ÷ aⁿ = a^{{m - n}}

3. (a^m)ⁿ = a^mn

4. (a)^-m = 1/a^m

5. (a)^m/n = ⁿ√a^m

6. (a)⁰ = 1

\({625^{0.17}} \times {625^{0.08}} = {25^?} \times {25^{- \frac{3}{2}}}\)

\(\Rightarrow {625^{0.17\; + \;0.08}} = {25^{? + (- \frac{3}{2})}}\)

\(\Rightarrow {625^{0.25}} = {25^{? - \frac{3}{2}}}\)

\(\Rightarrow {625^{\frac{1}{4}}} = {\left( {{5^2}} \right)^{? - \frac{3}{2}}}\)

\(\Rightarrow 5 = {5^{2 \times? - 3}}\)

⇒ 2 × ? - 3 = 1

⇒ ? = (1 + 3)/2

∴ ? = 2

दिया गया है:

2x = 4y = 8^z

\(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}=4\)

गणना:

\(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}=4\) ---- (1)

2x = 4y = 8^z

⇒ 2x = 2²y = 2^3z

⇒ x = 2y = 3z

y और z को x में परिवर्तित करने पर,

2y = x, इसलिए 4y = 2x

3z = x, इसलिए 4z = 4x/3

समीकरण (1) में उपरोक्त मानो का उपयोग करने पर,

⇒ \(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+\frac{3}{4x}=4 \)    

⇒ 7/4x = 4

∴ x = 7/16