Linear Algebra MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Linear Algebra - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

গণনা:

দেওয়া আছে |An×n| = 3 এবং |adj A| = 243

আমরা জানি যে |adj A| = |A|ⁿ⁻¹

⇒ 243 = 3ⁿ⁻¹ ⇒ 3⁵ = 3ⁿ⁻¹ ⇒ n − 1 = 5 ⇒ n = 6

সঠিক উত্তর হল বিকল্প "3"

ধারণা:

একটি ম্যাট্রিক্স রো ইচেলন ফর্মে থাকে যদি এটি নিম্নলিখিত প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করে:

• বাম দিক থেকে প্রথম অশূন্য সংখ্যা ( “লিডিং কোয়েফিসিয়েন্ট”) সর্বদা উপরের সারিতে প্রথম অশূন্য সংখ্যার ডানদিকে থাকে।
• শূন্য সমন্বিত সারিগুলি ম্যাট্রিক্সের নীচে থাকে।

গণনা:

প্রদত্ত সমীকরণ x + 2y = 1; 2x + y = 2

ম্যাট্রিক্স রূপে (Ax = b) উপস্থাপন করে আমরা পাই:

\( \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)যেখানে;

A(সহগ ম্যাট্রিক্স) = \( \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{bmatrix}\), b = \( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \) এবং x = \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \)

∴ অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স, A | b

= \( \begin{bmatrix} 1 & 2\big|1\\ 2 & 1\big|2 \end{bmatrix}\)

R2 → R2 - 2R1

= \( \begin{bmatrix} 1 & 2\bigm|1\\ 0 & -3\bigm|0 \end{bmatrix}\)

R2 → \(-\frac{R_2}{3}\)

= \( \begin{bmatrix} 1 & 2\bigm|1\\ 0 & 1\bigm|0 \end{bmatrix}\)

∴ সমীকরণ পদ্ধতি x + 2y = 1 এবং y = 0 এ হ্রাস পায়

⇒ x + 2(0) = 1

⇒ x = 1

∴ প্রদত্ত সমীকরণ পদ্ধতির সমাধান হল (1, 0)।

প্রদত্ত:

3 x 3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হল \( \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]\)

ধারণা:

একটি ম্যাট্রিক্সের আইগেনমান (eigenvalue) নির্ণয় করার জন্য, নিম্নলিখিত কাজগুলি করুন:
1 - যাচাই করুন যে নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। একই ক্রমের অভেদ ম্যাট্রিক্স I নির্ণয় করুন।
2 - ম্যাট্রিক্স \(A- \lambda I\) গণনা করুন, যেখানে \(\lambda\) একটি স্কেলার মান।
3 - ম্যাট্রিক্স \(A- \lambda I\) এর নির্ণায়ক (determinant) নির্ণয় করুন এবং এটিকে শূন্যের সমান করুন।
4 - সৃষ্ট সমীকরণ থেকে A এর সম্ভাব্য সমস্ত মান নির্ণয় করুন, যা ম্যাট্রিক্স A এর প্রয়োজনীয় আইগেনমান।

সমাধান:

\( A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]\)

\( I=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

\( \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]\)

\( A - \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]\)

\( A - \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & −4-\lambda & 2 \\ 0 & 0 & 7-\lambda\end{array}\right] \)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda)[(-4- \lambda)(7- \lambda)-2 \times0]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [-28+4 \lambda-7 \lambda + \lambda ^2]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [ \lambda ^2-7 \lambda+4 \lambda-28]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [ \lambda (\lambda - 7)+4( \lambda-7)]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) (\lambda - 7)( \lambda+4)\)

\(|A- \lambda I|=0\)

\((1- \lambda)(\lambda - 7)( \lambda+4)=0\)

\(\lambda =1,-4,7\)

সুতরাং, বিকল্প 1 সঠিক।

ধারণার ব্যবহার:

ধরা যাক, p(t) হল সসীম মাত্রিক ভেক্টর স্পেস V-এর উপর একটি রৈখিক অপারেটর T-এর একটি নূন্যতম বহুপদী।

যদি g(T) = 0 হয়, তাহলে যেকোনো বহুপদী g(t)-এর জন্য p(t), g(t) কে ভাগ করে। বিশেষত, নূন্যতম বহুপদী p(t) হল T-এর বৈশিষ্টসূচক বহুপদীর একটি ভাজক।
T-এর নূন্যতম বহুপদীটি অনন্য।

ব্যাখ্যা:

যেহেতু A একটি আইডেমপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স, তাহলে \(A^2=A\) ⇒ \(A^2-A=0\)

এবং প্রতিটি ম্যাট্রিক্স তার বহুপদী সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাহলে

\(m_A(x)=x^2-x=x(x-1)\)

\(m_A(x)=x(x-1)\)

সুতরাং, সঠিক বিকল্পটি হল 1।

ধরি A, B এবং C ম্যাট্রিক্সগুলি হল a, b, এবং c স্কেলার এবং ম্যাট্রিক্সের আকারগুলি এমন হয় যাতে অপারেশনগুলি (ক্রিয়াগুলি) করা যেতে পারে

ম্যাট্রিক্স গুণের বৈশিষ্ট্য:

ম্যাট্রিক্স গুণের সংযোজন বৈশিষ্ট্য:

• A(BC) = (AB)C

গুণের বিভাজক বৈশিষ্ট্য:

• A(B + C) = AB + AC
• (A + B) C = AC + BC

AIn = InA = A,  In হল উপযুক্ত অভেদ ম্যাট্রিক্স

c(AB)= (cA)B = A(cB)

দ্রষ্টব্য: সাধারণভাবে AB ≠ BA, অর্থাৎ ম্যাট্রিক্স বর্গ এবং একই ক্রমে হলেও ম্যাট্রিক্সের গুণ পরিবর্তনশীল নয়।

ম্যাট্রিক্স যোগ এবং স্কেলার গুণের বৈশিষ্ট্য:

যোগের পরিবর্তনশীল বৈশিষ্ট্য

• A + B = B + A

যোগের সংযোজন বৈশিষ্ট্য

• A + (B + C) = (A + B) + C
• A + O = O + A যেখানে O হল উপযুক্ত শূন্য ম্যাট্রিক্স

যোগের বিভাজক বৈশিষ্ট্য

• c(A + B) = cA + cB
• (a + b) C = aC + bC

(ab)C = a(bc)

ধারণা :

একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের বৈশিষ্ট্য:

• যদি নির্ধারকের যেকোনো সারি বা কলামের প্রতিটি এন্ট্রি 0 হয়, তাহলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।
• যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য A, |A| = |AT|
• যদি আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) বিনিময় করি, তাহলে নির্ধারককে -1 দ্বারা গুণ করা হয়।
• ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য।

গণনা :

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{b + c}\\ 1&b&{c + a}\\ 1&c&{a + b} \end{array}} \right|\)

C2 → C2 + C3 প্রয়োগ করুন

\( = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{a + b + c}&{b + c}\\ 1&{a + b + c}&{c + a}\\ 1&{a + b + c}&{a + b} \end{array}} \right|\)

কলাম 2 থেকে (a + b + c) কমন নিলে আমরা পাই,

\(= \left( {a + b + c} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{b + c}\\ 1&1&{c + a}\\ 1&1&{a + b} \end{array}} \right|\)

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের প্রথম এবং দ্বিতীয় কলাম সমান।

আমরা জানি যে, ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।

∴ \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{b + c}\\ 1&b&{c + a}\\ 1&c&{a + b} \end{array}} \right|\) = 0

ধারণা:

দুটি ম্যাট্রিক্স A_{m × n} এবং B_{p × q}

যদি AB এবং BA সংজ্ঞায়িত করা হয় তাহলে p = n এবং q = m

গণনা:

প্রদত্ত:

AB এবং BA সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

তাই ম্যাট্রিক্স B এর ক্রম B_{n × m}

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 1&m&{{m^2}}\\ 1&n&{{n^2}} \end{array}} \right|\)

R2 → R2 - R1 প্রয়োগ করে পাই

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&{m - l}&{{m^2} - {l^2}}\\ 1&n&{{n^2}} \end{array}} \right|\)

R3 → R3 - R1 প্রয়োগ করে পাই

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&{m - l}&{{m^2} - {l^2}}\\ 0&{n - l}&{{n^2} - {l^2}} \end{array}} \right|\)

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&{m - l}&{\left( {m - l} \right)\left( {m\; + \;l} \right)}\\ 0&{n - l}&{\left( {n - l} \right)\left( {n\; + \;l} \right)} \end{array}} \right|\)

\(\left( {m - l} \right)\left( {n - l} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&1&{\left( {m\; + \;l} \right)}\\ 0&1&{\left( {n\; + \;l} \right)} \end{array}} \right|\)

এখন, a11 থেকে বিস্তার করে পাই।

\(\left( {m - l} \right)\left( {n - l} \right).1.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{m\; + \;l}\\ 1&{n\; + \;l} \end{array}} \right]\)

= (m - l)(n - l)(n + l - m - l)

অনুসৃত ধারণা :

ম্যাট্রিক্সের স্থানান্তর : যদি একটি ম্যাট্রিক্স \(B_{n×{m}}\) একটি ম্যাট্রিক্স \(A_{m×{n}}\) থেকে তার সারিগুলিকে কলামে এবং এর কলামগুলিকে সারিতে পরিবর্তন করে থাকে তবে ম্যাট্রিক্স \(B_{n×{m}}\) কে A এর স্থানান্তর বলা হয় এবং A^T বা A¹ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

ম্যাট্রিক্সের গুণন: যদি A = (a_ij) হয় m × n এর একটি ম্যাট্রিক্স এবং B ক্রম n × p এর একটি ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে গুণফলের পর তাদের ক্রম m × p

ম্যাট্রিক্সের বিপরীত: শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য বিদ্যমান।

গণনা :

দেওয়া,

P3×2, Q3×4, এবং R3×4

P^T = P_2×3

QT = Q4×3

তাহলে, [Q(PTR)-1QT] = Q3× 4{[P2×3 × R3×4]-1Q4×3}

[Q(PTR)-1QT] = Q3×4 {(PR)2× 4}-1Q4×3

∵ [(PR)2×4] একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স নয়, তাই এর বিপরীত সংজ্ঞায়িত করা হয় না।

তাইজন্যে, ম্যাট্রিক্সের উপরের ক্রম থেকে আমরা সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে এটি অনির্ধারিত ম্যাট্রিক্স।

ধারণা:

একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স নন-সিঙ্গুলার হয় যদি এর নির্ধারক অশূন্য হয়।

যদি \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_{11}}}&{{{\rm{a}}_{12}}}\\ {{{\rm{a}}_{21}}}&{{{\rm{a}}_{22}}} \end{array}} \right]\) হয়, তাহলে A এর নির্ধারক হয়: |A| = (a₁₁ × a₂₂) – (a₁₂ – a₂₁)

\({{\rm{A}}^{ - 1}} = {\rm{\;}}\frac{{{\rm{Adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\left| {\rm{A}} \right|}}\)

বিঃদ্রঃ:

2 × 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য,

ধরি A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{a}}&{\rm{b}}\\ {\rm{c}}&{\rm{d}} \end{array}} \right]\)

তাহলে, Adj A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{d}}&{ - {\rm{b}}}\\ { - {\rm{c}}}&{\rm{a}} \end{array}} \right]\)

দ্রষ্টব্য: তির্যক উপাদানগুলি পরিবর্তন করুন এবং অবশিষ্ট উপাদানগুলির চিহ্ন পরিবর্তন করুন।

গণনা:

ধরি \({\rm{A\;}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 1&1 \end{array}} \right]\) এবং,

\({\rm{B\;}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 1&2 \end{array}} \right]\)

এখন,

\({\rm{A}} + {\rm{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 1&1 \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 1&2 \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 2&3 \end{array}} \right]{\rm{\;}}\)

\({\rm{A\;}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 1&1 \end{array}} \right]\)

⇒ det A = (2 – 1) = 1

\({\rm{B\;}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 1&2 \end{array}} \right]\)

⇒ det B = (4 – 1) = 3

det A + det B = 1 + 3 = 4

\({\rm{A}} + {\rm{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 2&3 \end{array}} \right]\)

⇒ det (A + B) = (12 – 4) = 8

∴ det (A+ B) ≠ det A + det B

1ম বিবৃতি ভুল।

আমরা জানি যে 2 × 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য, তির্যক উপাদানগুলিকে পরিবর্তন করুন এবং অবশিষ্ট উপাদানগুলির চিহ্ন পরিবর্তন করলে এটি সংযুক্ত ম্যাট্রিক্স দেয়।

\({\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right){\rm{\;}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ { - 1}&2 \end{array}} \right]\)

\({\rm{adj\;}}\left( {\rm{B}} \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ { - 1}&2 \end{array}} \right]\)

\({\rm{adj\;}}\left( {{\rm{A}} + {\rm{B}}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2\\ 2&4 \end{array}} \right]\)

আমরা জানি যে, \({{\rm{A}}^{ - 1}} = {\rm{\;}}\frac{{{\rm{Adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\left| {\rm{A}} \right|}}\)

\( \Rightarrow {{\rm{A}}^{ - 1}} = {\rm{\;}}\frac{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ { - 1}&2 \end{array}} \right]}}{1} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ { - 1}&2 \end{array}} \right]\)

\( \Rightarrow {{\rm{B}}^{ - 1}} = {\rm{\;}}\frac{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ { - 1}&2 \end{array}} \right]}}{3} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{2}{3}}&{ - \frac{1}{3}}\\ { - \frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}} \end{array}} \right]\)

এখন,

\({{\rm{A}}^{ - 1}} + {\rm{\;}}{{\rm{B}}^{ - 1}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ { - 1}&2 \end{array}} \right] + {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{2}{3}}&{ - \frac{1}{3}}\\ { - \frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}} \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{5}{3}}&{ - \frac{4}{3}}\\ { - \frac{4}{3}}&{\frac{8}{3}} \end{array}} \right]\)

\({\left( {{\rm{A}} + {\rm{B}}} \right)^{ - 1}} = {\rm{\;}}\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {{\rm{A}} + {\rm{B}}} \right)}}{{\det \left( {{\rm{A}} + {\rm{B}}} \right)}} = {\rm{\;}}\frac{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 2&3 \end{array}} \right]}}{8} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{4}{8}}&{\frac{2}{8}}\\ {\frac{2}{8}}&{\frac{3}{8}} \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}}&{\frac{1}{4}}\\ {\frac{1}{4}}&{\frac{3}{8}} \end{array}} \right]\)

∴ (A + B)^-1 ≠ A^-1 + B^-1

2য় বিবৃতি ভুল।

ধারণা:

ω যদি একের ঘনমূল হয়, অর্থাৎ ω³ = 1

তাহলে 1 + ω + ω² = 0

ω⁴ = ω³ω = ω [∵ ω³ =1]

গণনা:

প্রদত্ত:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1}&ω &{{ω ^2}}\\ ω &{x + {ω ^2}}&1\\ {{ω ^2}}&1&{x + ω } \end{array}} \right| = 0\)

C'₁ = C₁ + C₂

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x+1}+{ω}+{ω^2}}&ω &{{ω ^2}}\\ {{x+1}+{ω}+{ω^2}} &{x + {ω ^2}}&1\\ {{{x+1}+{ω}+{ω^2}}}&1&{x + ω } \end{array}} \right| = 0\)

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x}&ω &{{ω ^2}}\\ {x} &{x + {ω ^2}}&1\\ {{x}}&1&{x + ω } \end{array}} \right| = 0\;\;\;(∵\;1+ω+ω^2=0)\)

R'₂ = R₂ - R₁ এবং R'₃ = R₃ - R₁

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x}&ω &{{ω ^2}}\\ {0} &{x + {ω ^2}-ω}&{1-ω^2}\\ {{0}}&1-ω&{x + ω -ω^2 } \end{array}} \right| = 0\)

প্রথম স্তম্ভকে প্রসারিত করে:

∴ x[(x + ω² - ω)(x + ω - ω²) - (1 - ω)(1 - ω²)]

∴ x[x² + ωx - ω²x + ω²x + ω³ - ω⁴ - ωx - ω² + ω³ - 1 + ω² + ω - ω³]

∴ x³ = 0 (∵ ω³ = 1 এবং ω⁴ = ω ³ ω ⇒ ω)

∴ x = 0

ধারণা:

কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্য:
বিবৃতি: প্রতিটি বর্গ ম্যাট্রিক্স তার নিজস্ব বৈশিষ্ট্য সমীকরণ মেনে চলে।

কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্য বলে যে, বহুপদী p(x) = det(xI_n - A)-এ x-এর জন্য ম্যাট্রিক্স A-কে প্রতিস্থাপন করলে শূন্য ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়, যেমন:

p(A) = 0

এটি বলে যে, একটি 'n x n' ম্যাট্রিক্স A তার বৈশিষ্ট্যপূর্ণ বহুপদী det(tI - A) দ্বারা ধ্বংসপ্রাপ্ত হয়, যা n-ডিগ্রীর একটি মনিক বহুপদী।

কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্যের ব্যবহার:
(1) A-এর ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ঘাত গণনা করতে
(2) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর বিপরীত গণনা করতে

গণনা:

\({P^3} = P\)

কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্য থেকে \({\lambda ^3} = \lambda\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \lambda \;\left( {{\lambda ^2}-1} \right) = 0\\ \lambda = 0,\; + 1,\; - 1 \end{array}\)

প্রদত্ত:

3 x 3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হল \( \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]\)

ধারণা:

একটি ম্যাট্রিক্সের আইগেনমান (eigenvalue) নির্ণয় করার জন্য, নিম্নলিখিত কাজগুলি করুন:
1 - যাচাই করুন যে নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। একই ক্রমের অভেদ ম্যাট্রিক্স I নির্ণয় করুন।
2 - ম্যাট্রিক্স \(A- \lambda I\) গণনা করুন, যেখানে \(\lambda\) একটি স্কেলার মান।
3 - ম্যাট্রিক্স \(A- \lambda I\) এর নির্ণায়ক (determinant) নির্ণয় করুন এবং এটিকে শূন্যের সমান করুন।
4 - সৃষ্ট সমীকরণ থেকে A এর সম্ভাব্য সমস্ত মান নির্ণয় করুন, যা ম্যাট্রিক্স A এর প্রয়োজনীয় আইগেনমান।

সমাধান:

\( A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]\)

\( I=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

\( \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]\)

\( A - \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]\)

\( A - \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & −4-\lambda & 2 \\ 0 & 0 & 7-\lambda\end{array}\right] \)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda)[(-4- \lambda)(7- \lambda)-2 \times0]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [-28+4 \lambda-7 \lambda + \lambda ^2]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [ \lambda ^2-7 \lambda+4 \lambda-28]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [ \lambda (\lambda - 7)+4( \lambda-7)]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) (\lambda - 7)( \lambda+4)\)

\(|A- \lambda I|=0\)

\((1- \lambda)(\lambda - 7)( \lambda+4)=0\)

\(\lambda =1,-4,7\)

সুতরাং, বিকল্প 1 সঠিক।

ব্যাখ্যা:

[A] একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স, বাস্তব এবং প্রতিসম।

বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণ,

(A - λI) = 0 …………(i)

λ এর জন্য সমাধান করা, আইগেন মান

ধরি প্রতিসম এবং বাস্তব ম্যাট্রিক্স A

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ b&a \end{array}} \right]\) …………(ii)

\(\Rightarrow \left[ {A - \lambda I} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ b&a \end{array}} \right] - \lambda \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = 0\)

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a - \lambda }&b\\ b&{a - \lambda } \end{array}} \right] = 0\)

⇒ (a - λ)² - b² = 0

⇒ (a - λ)² = b²

⇒ (a - λ) = ± b

⇒ λ = a ± b