\((\sqrt{3}+5^\frac{1}{4})^{12}\) के प्रसार में परिमेय पदों की संख्या कितनी है?

संप्रत्यय:

(a + b)ⁿ के द्विपद प्रसार में एक पद T_k+1 = C(n, k) × a^n-k × b^k द्वारा दिया जाता है।

किसी पद के परिमेय होने के लिए, √3 और 5^1/4 दोनों के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।

प्रयुक्त सूत्र:

(√3)^n-k में, इसके परिमेय होने के लिए n-k सम होना चाहिए।

(5^1/4)^k में, इसके परिमेय होने के लिए k, 4 का गुणज होना चाहिए।

गणना:

माना n = 12:

⇒ (√3)^n-k के परिमेय होने के लिए, n-k सम होना चाहिए।

⇒ चूँकि n = 12 है, इसलिए k भी सम होना चाहिए।

⇒ (5^1/4)^k के परिमेय होने के लिए, k, 4 का गुणज होना चाहिए।

⇒ k के मान जो दोनों शर्तों (k सम है और 4 का गुणज है) को संतुष्ट करते हैं:

⇒ k = 0, 4, 8, और 12

⇒ ये प्रसार में 4 परिमेय पदों के संगत हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।