एक उद्देश्य फलन $p(x,y)=3x+9y$ है और प्रतिबंध हैं,

$x+y\le \mathrm{8,}$

$x+2y\le \mathrm{4,}$

$x\ge \mathrm{0,}$

$y\ge 0$

उद्देश्य फलन का अधिकतम मान क्या है?

संकल्पना:

उद्देश्य फलन: \( p(x,y) = 3x + 9y \)

प्रतिबंध:

• \( x + y \leq 8 \)
• \( x + 2y \leq 4 \)
• \( x \geq 0 \)
• \( y \geq 0 \)

चरण 1: सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें

सर्वप्रथम, सुसंगत क्षेत्र के शीर्षों को निर्धारित करने के लिए प्रतिबंधों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।

1. x + y = 8 और x + 2y = 4 का प्रतिच्छेदन:

   पहले समीकरण को दूसरे से घटाएँ:

   \( (x + 2y) - (x + y) = 4 - 8 \)

   \( y = -4 \)

   x + y = 8 में y = -4 प्रतिस्थापित करें:

   \( x = 12 \)

   हालांकि, y = -4, y \geq 0 का उल्लंघन करता है, इसलिए यह प्रतिच्छेदन सुसंगत नहीं है।

2. y = 0 के साथ x + y = 8 का प्रतिच्छेदन:

   \( x = 8 \), y = 0. यह बिंदु (8, 0) देता है।

3. x = 0 के साथ x + 2y = 4 का प्रतिच्छेदन:

   \( y = 2 \), x = 0. यह बिंदु (0, 2) देता है।

4. y = 0 के साथ x + 2y = 4 का प्रतिच्छेदन:

   \( x = 4 \), y = 0. यह बिंदु (4, 0) देता है।

5. मूलबिंदु (0, 0):

   यह बिंदु सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है।

सुसंगत शीर्ष (0, 0), (4, 0), और (0, 2) हैं। बिंदु (8, 0) सुसंगत नहीं है क्योंकि यह x + 2y \leq 4 का उल्लंघन करता है।

चरण 2: प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन का मूल्यांकन करें

1. (0, 0) पर:

   \( p(0, 0) = 3(0) + 9(0) = 0 \)

2. (4, 0) पर:

   \( p(4, 0) = 3(4) + 9(0) = 12 \)

3. (0, 2) पर:

   \( p(0, 2) = 3(0) + 9(2) = 18 \)

उद्देश्य फलन का अधिकतम मान सुसंगत शीर्षों से प्राप्त सबसे बड़ा मान है, जो बिंदु (0, 2) पर 18 है।