Theorem on Chords MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Theorem on Chords - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

கொடுக்கப்பட்டது:

7 அலகு ஆரமுள்ள ஒரு வட்டத்தின் மையத்தின் எதிர் பக்கங்களில் 5 அலகு மற்றும் 8 அலகு நீளமுள்ள இரண்டு இணையான நாண்கள் உள்ளன.

நாண்களுக்கு இடையேயான தூரத்தைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில்:

OM = √(r² - AM²), இங்கு OM என்பது மையத்திலிருந்து நாண் வரை செங்குத்தான தூரம்.

கணக்கீடு:

5 அலகு நீளமுள்ள நாணுக்கு:

⇒ AM = 1/2 x 5 = 2.5 அலகுகள்

⇒ OM² = r² - AM²

⇒ OM = √(7² - 2.5²)

⇒ OM = √(49 - 6.25)

⇒ OM = √42.75 = 6.54 அலகுகள்

8 அலகு நீளமுள்ள நாணுக்கு:

⇒ CN = 1/2 x 8 = 4 அலகுகள்

⇒ ON² = r² - CN²

⇒ ON = √(7² - 4²)

⇒ ON = √(49 - 16)

⇒ ON = √33 = 5.74 அலகுகள்

எனவே, நாண்களுக்கு இடையேயான தூரம்:

⇒ தூரம் = OM + ON

⇒ தூரம் = 6.54 + 5.74 = 12.28 அலகுகள்

∴ நாண்களுக்கு இடையேயான தூரம் 12.28 அலகுகள்.

கொடுக்கப்பட்டது:

ஒரு வட்டத்தின் நாண்கள் AB மற்றும் CD, நீட்டிக்கப்படும் போது, வட்டத்திற்கு வெளியே உள்ள புள்ளி P இல் சந்திக்கின்றன. AB = 6 செ.மீ, CD = 3 செ.மீ மற்றும் PD = 5 செ.மீ

கணக்கீடு:

PA x PB = PC x PD

(6 + x) x = 8 x 5

⇒ x² + 6x - 40 = 0

⇒ x² + 10x - 4x - 40

⇒ (x + 10) (x - 4) = 0

⇒ x = 4

∴ PB என்பது 4 செ.மீ க்கு சமம்.

கொடுக்கப்பட்டது:

வட்டத்தின் விட்டம் = 26 செ.மீ

வட்டத்தின் ஆரம் (r) = 26/2 = 13 செ.மீ

நாண்களின் நீளம் = 10 செ.மீ

இரண்டு நாண்களுக்கு இடையேயான தூரம் = h செ.மீ

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

2a நீளமுள்ள ஒரு நாணுக்கு, வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து செங்குத்து தூரம் இது தரப்படுகிறது:

d = √(r² - a²)

இங்கு r = ஆரம், a = நாணின் நீளத்தின் பாதி

கணக்கீடு:

நாணின் நீளத்தின் பாதி (a) = 10/2 = 5 செ.மீ

செங்குத்து தூரத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி:

d = √(13² - 5²)

d = √(169 - 25) = √144

⇒ d = 12 செ.மீ

இரண்டு நாண்களுக்கு இடையேயான தூரம் = 2d = 2 x 12 = 24 செ.மீ

∴ h இன் மதிப்பு 24 செ.மீ.

கொடுக்கப்பட்டது:

விட்டம் 26 செ.மீ கொண்ட ஒரு வட்டத்தில், 10 செ.மீ நீளமுள்ள இரண்டு சமமான இணையான நாண்கள் உள்ளன.

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

வட்டத்தின் ஆரம் R எனவும், ஒவ்வொரு நாணின் மையத்திலிருந்து தூரம் d₁ மற்றும் d₂ எனவும் இருக்கட்டும்.

மையத்திலிருந்து நாணிக்கு செங்குத்து தூரத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி:

\(\sqrt{R^2 - (\frac{நாண்\ நீளம்}{2})^2} = மையத்திலிருந்து\ நாணிக்கு\ தூரம்\)

கணக்கீடுகள்:

ஆரம் (R) = \(\frac{26}{2}\) = 13 செ.மீ

நாண் நீளத்தின் பாதி = \(\frac{10}{2}\) = 5 செ.மீ

மையத்திலிருந்து ஒவ்வொரு நாணிக்கும் தூரம் (d₁ மற்றும் d₂):

\(\sqrt{13^2 - 5^2}\)

⇒ \(\sqrt{169 - 25}\)

⇒ \(\sqrt{144}\)

⇒ 12 செ.மீ

இரண்டு நாண்களுக்கு இடையேயான தூரம் = 2 x 12 = 24 செ.மீ

∴ சரியான விடை விருப்பம் 2.

கொடுக்கப்பட்டது:

வட்டத்தின் ஆரம், r = 7 செ.மீ.

விட்டம் AB மற்றும் விட்டம் அல்லாத நாண் PQ ஆகியவை புள்ளி C யில் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொள்கின்றன.

AC மற்றும் BC இன் விகிதம் 4:3.

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

மேலும், வெட்டும் நாண்களின் பண்பைப் பயன்படுத்தி:

AC x BC = PC x CQ

கணக்கீடு:

ஆரம் = 7 செ.மீ

விட்டம் = AB = 2 x ஆரம்

AB = 2 x 7 = 14 செ.மீ

AB = AC + BC = 14 செ.மீ

AC : BC = 4 : 3

AC = (4/7) x 14 = 8 செ.மீ

BC = (3/7) x 14 = 6 செ.மீ

இங்கே, PC = CQ (AC என்பது PQ க்கு செங்குத்தாக உள்ளது)

எனவே, தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்

AC x BC = PC x CQ

8 x 6 = PC x PC

PC² = 48

PC = 4√3 செ.மீ

PQ = PC + CQ = 4√3 + 4√3 = 8√3 செ.மீ

∴ சரியான விடை விருப்பம் (4).

கொடுக்கப்பட்டுள்ளவை:

AX = 24

XB = k

CX = (k + 2)

XD = 16

பயன்படுத்தப்பட்ட கோட்பாடு:

AB மற்றும் CD ஆகிய இரு நாண்கள் X என்ற புள்ளியில் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்கின்றன எனில்,

AX × XB = CX × XD

கணக்கீடு:

AX × XB = CX × XD

⇒ 24 × k = (k + 2) × 16

⇒ 3k = 2(k + 2)

⇒ 3k - 2k = 4

⇒ k = 4

எனவே, kஇன் மதிப்பு 4.

கொடுக்கப்பட்டுள்ளவை:

∠BAC = 60°

பயன்படுத்தப்பட்ட கோட்பாடு:

மையத்தில் உள்ள ஒரு வட்ட வில்லின் துணைக்கோணமானது வட்டத்தின் எஞ்சிய பகுதியிலுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி மூலம் உருவாகும் துணைக்கோணத்தின் இரு மடங்காகும்.

கணக்கீடு:

∠BIC = 2 × ∠BAC = 2 × 60° = 120° 

கொடுக்கப்பட்டது:

∠APB = 122°

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின் எதிர் பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்

ஒரு வட்டத்தின் வளைவால் அதன் மையத்தில் உள்ள கோணமானது வட்டத்தின் சுற்றளவில் எங்கும் வளைந்திருக்கும் கோணத்தின் இரு மடங்கு ஆகும்.

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்தில்,

APBT என்பது ஒரு வட்ட நாற்கரமாகும்.

∠ATB + ∠APB = 180° [எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180°]

⇒ x° + 122° = 180°

⇒ x = (180° – 122°)

⇒ x = 58°

∠ATB = 58°

ஒரு வட்டத்தின் வளைவால் அதன் மையத்தில் உள்ள கோணமானது வட்டத்தின் சுற்றளவில் எங்கும் உள்ள கோணத்தின் இரு மடங்கு கோணம் என்பதை நாம் அறிவோம்.

⇒ ∠AOB = 2 × ∠ATB

⇒ ∠AOB = 2 × 58°

⇒ ∠AOB = 116°

இப்போது,

OA = OB [வட்டத்தின் ஆரம்]

பிறகு,

∠OAB + ∠AOB + ∠OBA = 180°

⇒ θ + 116° + θ = 180°

⇒ 2θ + 116° = 180°

⇒ 2θ = (180° - 116°)

⇒ 2θ = 64°

⇒ θ = 32°

அதனால்,

∠OAB = θ = 32°

∴ ∠OAB இன் தேவையான மதிப்பு 32° ஆகும்.

Shortcut Trick

மேலே கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்திலிருந்து நம்மிடம் உள்ளது

⇒ θ = P - 90°

⇒ θ = 122° - 90° = 32°

∴ சரியான பதில் 32°.

கணக்கீடு:

RP = RQ + PQ = 14.4 + 11.2 = 25.6

நாம் அறிந்தபடி,

RP × RQ = RT × RS

⇒ 25.6 × 14.4 = RT × 12.8

⇒ RT = 28.8 செ.மீ

கொடுக்கப்பட்டது:

இரண்டு வட்டங்களின் ஆரங்கள் 12 செ.மீ மற்றும் 5 செ.மீ. அவற்றின் மையங்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம் 25 செ.மீ.

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

இரண்டு வட்டங்களின் நேரடிப் பொதுவான தொடுகோட்டின் நீளம் = \(\sqrt {D^2 - (r_1 - r_2)^2}\) (D = அவற்றின் மையங்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம், r₁ = பெரிய வட்டத்தின் ஆரம், மற்றும் r₂ = சிறிய ஆரம்

கணக்கீடு:

மையங்கள் P மற்றும் Q இல் இருக்கட்டும்.

QN = பெரிய வட்டத்தின் ஆரம் = 12 செ.மீ

PM = சிறிய வட்டத்தின் ஆரம் = 5 செ.மீ

MN  நேரடியான பொதுவான தொடுகோடாக இருக்கட்டும்.

சூத்திரத்தின் படி,

MN இன் நீளம்

⇒ \(\sqrt {25^2 - (12 - 5)^2}\)

⇒ \(\sqrt {576}\)

⇒ 24 செ.மீ

∴ நேரடி பொதுவான தொடுகோட்டின் நீளம் 24 செ.மீ.

கொடுக்கப்பட்டது:

நாண் = 21 செ.மீ

விட்டம் = 25 செ.மீ

கருத்து:

வட்ட மையத்திலிருந்து நாணிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடு, நாணை இரு சம பாகங்களாக பிரிக்கிறது.

பிதாகரஸ் தேற்றம்:

OA² = OD² + AD²

கணக்கீடு:

21 செமீ நீளமுள்ள நாணை AB எனக் கொள்க.

⇒ OD என்பது செங்குத்துக்கோட்டின் தூரம்

⇒ AO என்பது வட்டத்தின் ஆரம்

OA2 = OD2 + AD2

⇒ (25/2)² = OD2 + (21/2)²

⇒ 625/4 = OD2 + 441/4 

⇒ OD2 = 625/4 - 441/4 = 184/4 = 46 

∴ OD = √46 

கொடுக்கப்பட்டது:

ஆரம் = 10 செ.மீ

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

வடிவொப்புமைக் கருத்து

AAA வடிவொப்புமை → ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களும் மற்றொரு முக்கோணத்தின் மூன்று ஒத்த கோணங்களுக்கு சமமாக இருந்தால், அந்த முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை.

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்ட படத்தில்,

ΔDAO ~ ΔAPO [∵ ∠OAP = ∠ODA = 90° மற்றும் ∠AOD என்பது இரு முக்கோணங்களுக்கும் பொதுவானது]

எனவே,

AD/AP = DO/AO

⇒ 6/AP = 8/10 [6, 8, 10 பைதகரஸ் மும்மடங்குகள்]

⇒ AP = 60/8

⇒ AP = 7.5 செ.மீ

∴ தொடுகோடு AP இன் நீளம் 7.5 செ.மீ

கொடுக்கப்பட்டது:

இந்த இரண்டு வட்டங்களின் விட்டத்தின் கூட்டுத்தொகை 84 செ.மீ

கணக்கீடு:

ஒரு வட்டத்தின் விட்டம் = 84/2 = 42 செ.மீ

வட்டத்தின் ஆரம் = 42/2 = 21 செ.மீ

வரைபடத்தின் படி,

AD = DB

O1O2 = 21

மீண்டும் O1A = O2A = 21 [வட்டத்தின் ஆரம்]

∠ADO1 = 90°

O1D = O2D = 21/2

AD = √(441 - 441/4)

⇒ 21√3/2 

AB = 2 × 21√3/2  = 21√3

∴ பொதுவான நாண் நீளம் 21√3 செ.மீ

கொடுக்கப்பட்டுள்ளவை: 

AB மற்றும் CD ஆகியவை ஒரு வட்டத்தின் இரண்டு நாண்கள் P இல் வெளிப்புறமாக வெட்டுகின்றன.

AB = 4 செமீ, CD = 11 செமீ மற்றும் PD = 15 செமீ 

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

AB மற்றும் CD ஆகிய இரு நாண்கள் P என்ற வெளிப்புள்ளியில் வெட்டிக்கொள்கின்றன,

PA × PB = PC × PD 

கணக்கீடுகள்:

PAஇன் நீளத்தை 'x' எனக்கொள்க 

PC = PD - CD

⇒ 15 - 11

⇒ PC = 4 செமீ 

கேள்வியின்படி 

PA × PB = PC × PD 

x × (x + 4) = 15 × 4 

⇒ x = 6 

PB = PA + AB 

⇒ 6 + 4 

⇒ 10 

∴ PB இன் நீளம் 10 செமீ 

கொடுக்கப்பட்டது:

முதல் நாண் நீளம் = 12 செ.மீ

இரண்டாவது நாண் நீளம் = 20 செ.மீ

வட்டத்தின் ஆரம் = 5√13 செ.மீ

கணக்கீடு:

OB = OD = 5 √13 செ.மீ

AB = 12 cm, CD = 20 cm, AM = MB = 12/2 = 6 cm மற்றும் CN = ND = 20/2 = 10 செ.மீ.

Δ MBO இல்

OB 2 = MB 2 + MO 2

⇒ (5 √13) 2 = 6 2 + OM 2

⇒ OM 2 = 325 – 36 = 289

⇒ OM = √289 = 17

Δ NDO இல்

OD 2 = ND 2 + NO 2

⇒ (5 √13) 2 = 10 2 + NO2

⇒ ON2 = 325 – 100 = 225

 ஆன்  = √225 = 15

நாம் அறிந்தபடி,

OM = MN + ON

⇒ 17 = MN + 15

⇒ MN = 17 – 15 = 2 செ.மீ

∴ சரியான பதில் விருப்பம் (4).