Taylor Series, Laurent Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Taylor Series, Laurent Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

\(f(z) = (1+z) e^{\left(\frac{z^2}{2}\right)}\)

= \((1+z) \left(1+\frac{z^2}{2}+\frac{z^2}{8}+...\right)\)

f(z) = \(1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{2}+\frac{z^4}{8}+\frac{z^5}{8}+...\)..(i)

इसके अलावा, \(f(z) = (1+z) e^{\left(\frac{z^2}{2}\right)}\) = \(1+\sum_{n=1}^{\infty} a_n z^n\) = \(1+a_1z+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4+...\)

तुलना करने पर, हमें मिलता है

a₁ = 1, a₂ = 1/2

a1 ≠ a2

विकल्प (2) गलत है।

अब, f'(z) = \(e^{z^2\over2}\) + (1 + z).z \(e^{z^2\over2}\) = (1 + z + z2)\(e^{z^2\over2}\)

विकल्प (1) सही है।

समीकरण (i) से, हम देख सकते हैं कि सभी n ≥ 1 के लिए an ≥ 0 है।

विकल्प (3) सही है।

इसके अलावा हम देख सकते हैं कि n ≥ 3 के लिए, a_n तेज़ी से घटता है।

इसलिए योग अभिसारित होता है और 2 से कम होता है।

विकल्प (4) सही है।

स्पष्टीकरण:

\(\rm f(z) = (1-z) e^{\left(z+\frac{z^2}{2}\right)}\) = \(\rm 1+\sum_{n=1}^{\infty} a_n z^n\)

हम जानते हैं कि z = 0 पर f(z) का टेलर श्रृंखला विस्तार है

f(z) = \(\rm 1+\sum_{n=1}^{\infty} a_n z^n\) जहां a _n = \(f^n(0)\over n!\)

अब, f'(z) = - \(e^{\left(z+\frac{z^2}{2}\right)}\) + (1 - z) \(e^{\left(z+\frac{z^2}{2}\right)}\) (1 + z) = -z ² \(e^{\left(z+\frac{z^2}{2}\right)}\)

(1) सत्य है

a ₁ = \(f'(0)\over 1!\) = 0/1 = 0

साथ ही, f''(z) = -2z \(e^{\left(z+\frac{z^2}{2}\right)}\) - z ² \(e^{\left(z+\frac{z^2}{2}\right)}\) (1 + z)

f''(0) = 0

तो a ₂ = \(f''(0)\over 2!\) = 0/2 = 0

अत: a1 = a2 

(2) सत्य है

इसी प्रकार खोज सकते हैं कि a n ∈ (-∞, 0]

(3) सत्य है

अतः (4) असत्य है

संकल्पना -

\((1-x)^{-1} = 1+x +x^2 +x^3+....\)

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त है  \(\rm \frac{z}{1-z-z^2}=\Sigma_{n=0}^{\infty}a_nz^n, a_n \in \)

\(\rm \frac{z}{1-z-z^2}= z(1-z-z^2)^{-1}=z(1-(z+z^2))^{-1}\)

अब प्राप्त सूत्र का प्रयोग करने पर-

\(\rm \frac{z}{1-z-z^2}=z(1+(z+z^2)+(z+z^2)^2+(z+z^2)^3+ (z+z^2)^4+....)\)

अब हम a6 और a5 का मान ज्ञात करना चाहते हैं, इसलिए a6 और a5, z6 और z5 के गुणांक है, इसलिए उपरोक्त समीकरण को हल करने के बाद हमें प्राप्त होता है -

\(a_5z^5 = (1+3+1)z^5 \ \ and \ \ a_6z^6 = (3+2+2+1)z^6\)

इसलिए, a6 और a5 के मान 8 और 5 है

अत:, 𝑎6 + 𝑎5  = 8 + 5 = 13

अतः, सही उत्तर 13 है।

संकल्पना:

|z| < 1 के लिए (1 - z)^-1 = \(\sum_{n=0}^{\infty}z^n\)

|z| < 1 के लिए (1 + z)^-1 = \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n\) 

स्पष्टीकरण:

 f(z) = \(\frac{1}{(z^2-4)(z+1)}\) = \(\frac{1}{(z+2)(z-2)(z+1)}\)

माना \(\frac{1}{(z+2)(z-2)(z+1)}\) = \(\frac{A}{z+2}+\frac{B}{z-2}+\frac{C}{z+1}\)

⇒ \(\frac{1}{(z+2)(z-2)(z+1)}\) = \(\frac{A(z-2)(z+1)+B(z+2)(z+1)+C(z+2)(z-2)}{(z+2)(z-2)(z+1)}\)

⇒ 1 = A(z - 2)(z + 1) + B(z + 2)(z + 1) + C(z + 2)(z - 2)

z = - 2 रखने पर,  प्राप्त होता है

1 = A(-4)(-1) ⇒ A = 1/4

z = 2 रखने पर,  प्राप्त होता है

1 = B(4)(3) ⇒ B = 1/12

z = - 1 रखने पर,  प्राप्त होता है

1 = C(1)(-3) ⇒ C = - 1/3

इसलिए, f(z) = \(\frac14.\frac{1}{z+2}+\frac1{12}.\frac{1}{z-2}-\frac13\frac{1}{z+1}\)

1 < |z| < 2 में ⇒ \(\frac{1}{|z|}<1, \frac{|z|}{2}<1\)

अतः 

f(z) = \(\frac18.\frac{1}{1+\frac z2}-\frac1{24}.\frac{1}{1-\frac z2}-\frac1{3z}\frac{1}{1+\frac1z}\)

f(z) = \(\frac18.{(1+\frac z2)^{-1}}-\frac1{24}.{(1-\frac z2)^{-1}}-\frac1{3z}{(1+\frac1z)^{-1}}\)

f(z) = \(\frac{1}{8}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac z2\right)^n-\frac{1}{24}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac z2\right)^n-\frac{1}{3z}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z^n}\)

संकल्पना:

(1 + z)-1 = \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n\)

स्पष्टीकरण:

f(z) = \(\frac{z-1}{z+1}\) 

f(z) = 1 - \(\frac{2}{z+1}\)

f(z) = 1 - 2(1 + z)-1

f(z) = 1 - 2\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n\)

(3) सही है

अवधारणा:

एक संपूर्ण फ़ंक्शन एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो एक जटिल समन्वय स्थान में एक डोमेन में प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक जटिल अंतर है

स्पष्टीकरण:

f(z) = \(\rm\frac{1}{1−z−z^2}\) z ∈ ℂ के लिए

f(z) की विलक्षणताएँ द्वारा दी गई हैं

1 - z - z ² = 0 ⇒ z = \({-1 \pm \sqrt{1+4} \over 2}\) = \({-1 \pm \sqrt{5} \over 2}\)

तो f(z) में z = \({-1 \pm \sqrt{5} \over 2}\) पर एक ध्रुव है

अतः विकल्प (1) और (2) दोनों गलत हैं

f के पास टेलर श्रृंखला का विस्तार है

f(z) = \(\rm\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\)   a n z n = f(0) + \(\frac{f'(0)}{1!}\) z + ....

तो a 0 = f(0) = 1

और a 1 = \(\frac{f'(0)}{1!}\)

अब, f'(z) = - \(\rm\frac{1}{(1−z−z^2)^2}\) (-1 - 2z)

तो f'(0) = 1

अतः विकल्प (4) सही है और (3) गलत है

अवधारणा:

टेलर श्रेणी के लिए अभिसरण क्षेत्र (ROC), बिंदु Z_o के आसपास का वह क्षेत्र है जहाँ श्रेणी अभिसरित होती है। और इसे Z_o से निकटतम विलक्षणता तक की दूरी लेकर प्राप्त किया जा सकता है।

व्याख्या:

यहाँ f(z) = \(\rm\frac{z^3+2 z−4}{z}\) के लिए, z = 0 विलक्षणता बिंदु है अर्थात z = 0 पर विश्लेषणात्मक नहीं है।

और z = 0 को छोड़कर, हर जगह विश्लेषणात्मक है।

अब z = 1 पर जाँच करने पर,

आप देख सकते हैं कि, z0 = 1 के आसपास अधिकतम क्षेत्र विवृत एकक डिस्क है जहाँ f(z) विश्लेषणात्मक है।

अर्थात, |z − 1| < 1 ⇒ R = 1

इस प्रकार; z = 1 पर f की टेलर श्रेणी का ROC 1 है।

इसलिए विकल्प (2) सही है।

अवधारणा:

एक संपूर्ण फ़ंक्शन एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो एक जटिल समन्वय स्थान में एक डोमेन में प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक जटिल अंतर है

स्पष्टीकरण:

f(z) = \(\rm\frac{1}{1−z−z^2}\) z ∈ ℂ के लिए

f(z) की विलक्षणताएँ द्वारा दी गई हैं

1 - z - z ² = 0 ⇒ z = \({-1 \pm \sqrt{1+4} \over 2}\) = \({-1 \pm \sqrt{5} \over 2}\)

तो f(z) में z = \({-1 \pm \sqrt{5} \over 2}\) पर एक ध्रुव है

अतः विकल्प (1) और (2) दोनों गलत हैं

f के पास टेलर श्रृंखला का विस्तार है

f(z) = \(\rm\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\)   a n z n = f(0) + \(\frac{f'(0)}{1!}\) z + ....

तो a 0 = f(0) = 1

और a 1 = \(\frac{f'(0)}{1!}\)

अब, f'(z) = - \(\rm\frac{1}{(1−z−z^2)^2}\) (-1 - 2z)

तो f'(0) = 1

अतः विकल्प (4) सही है और (3) गलत है

संकल्पना:

x = 0 के सापेक्ष f(x) की टेलर श्रेणी का प्रसार है

f(x) = \(f(0)+xf'(0)+\frac{x^2}{2!}f''(0)+\frac{x^3}{3!}f'''(0)+\frac{x^4}{4!}f^{(4)}(0)+...\)

स्पष्टीकरण:

f(x) = ln(cosh x) ⇒ f(0) = ln(cosh 0) = 0

f'(x) = tanh x ⇒ f'(0) = 0

f''(x) = sech²x ⇒ f''(0) = 1

f'''(x) = 2sech x (- sech x tanh x) = - 2sech²x tahn x ⇒ f'''(0) = 0

f⁽⁴⁾(x) = - 4sech x(- sech x tanh x)tanh x - 2sech²x sech2x ⇒ f(4)(0) = - 2 

अतः, x = 0 पर टेलर श्रेणी के प्रसार का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है

f(x) = \(0+x\times0+\frac{x^2}{2!}\times1+\frac{x^3}{3!}\times0+\frac{x^4}{4!}\times(-2)+...\) = \(\frac12x^2-\frac1{12}x^4+...\)

(2) सही है

संकल्पना:

श्रेणी \(\sum_{n=1}^{\infty}a_nz^{kn}\) के अभिबिंदुग की त्रिज्या  \(\frac{1}{R}=\left(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)^{1/k}\)

स्पष्टीकरण:

यहाँ श्रेणी \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}z^{2n}}{n!}\) में, \(a_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n!}\) और k = 2

श्रेणी के अभिबिंदुग की त्रिज्या है

1/R = \(\left(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}}{\frac{(-1)^{n-1}}{(n)!}}\right|\right)^{1/2}\) 

⇒ 1/R = \(\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}\right)^{1/2}\) 

⇒ 1/R = \(\left(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)}\right)^{1/2}\) 

⇒ \(R= \infty\)

(2) सही है

स्पष्टीकरण:

f(z) = \(\frac{(z^2-1)}{(z+2)(z+3)}\) = 1 - \(\frac{(5z+7)}{(z+2)(z+3)}\) 

⇒ f(z) = 1 - (\(\frac8{z+3}-\frac{3}{z+2}\))

⇒ f(z) = 1 + \(\frac{3}{z+2}-\frac8{z+3}\)

अब |z| < 2 के लिए ⇒ \(|\frac{z}{2}|<1\) और \(|\frac{z}{3}|<1\)

⇒ f(z) = 1 + \(\frac{3}{2(1+\frac z2)}-\frac8{3(1+\frac z3)}\)

⇒ f(z) = 1 + \(\frac32(1+\frac z2)^{-1}\) - \(\frac83(1+\frac z3)^{-1}\)

⇒ f(z) = 1 + \(\frac32(1-\frac z2+\frac{z^2}{4}-...)\) - \(\frac83(1-\frac z3+\frac{z^2}{9}-...)\) (\((1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+x^4-...\) |x| < 1 के लिए) 

(1) सही है

स्पष्टीकरण:

\(\rm f(z) = (1-z) e^{\left(z+\frac{z^2}{2}\right)}\) = \(\rm 1+\sum_{n=1}^{\infty} a_n z^n\)

हम जानते हैं कि z = 0 पर f(z) का टेलर श्रृंखला विस्तार है

f(z) = \(\rm 1+\sum_{n=1}^{\infty} a_n z^n\) जहां a _n = \(f^n(0)\over n!\)

अब, f'(z) = - \(e^{\left(z+\frac{z^2}{2}\right)}\) + (1 - z) \(e^{\left(z+\frac{z^2}{2}\right)}\) (1 + z) = -z ² \(e^{\left(z+\frac{z^2}{2}\right)}\)

(1) सत्य है

a ₁ = \(f'(0)\over 1!\) = 0/1 = 0

साथ ही, f''(z) = -2z \(e^{\left(z+\frac{z^2}{2}\right)}\) - z ² \(e^{\left(z+\frac{z^2}{2}\right)}\) (1 + z)

f''(0) = 0

तो a ₂ = \(f''(0)\over 2!\) = 0/2 = 0

अत: a1 = a2 

(2) सत्य है

इसी प्रकार खोज सकते हैं कि a n ∈ (-∞, 0]

(3) सत्य है

अतः (4) असत्य है

संकल्पना:

(1 + z)-1 = \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n\)

स्पष्टीकरण:

f(z) = \(\frac{z-1}{z+1}\) 

f(z) = 1 - \(\frac{2}{z+1}\)

f(z) = 1 - 2(1 + z)-1

f(z) = 1 - 2\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n\)

(3) सही है

संकल्पना:

|z| < 1 के लिए (1 - z)^-1 = \(\sum_{n=0}^{\infty}z^n\)

|z| < 1 के लिए (1 + z)^-1 = \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n\) 

स्पष्टीकरण:

 f(z) = \(\frac{1}{(z^2-4)(z+1)}\) = \(\frac{1}{(z+2)(z-2)(z+1)}\)

माना \(\frac{1}{(z+2)(z-2)(z+1)}\) = \(\frac{A}{z+2}+\frac{B}{z-2}+\frac{C}{z+1}\)

⇒ \(\frac{1}{(z+2)(z-2)(z+1)}\) = \(\frac{A(z-2)(z+1)+B(z+2)(z+1)+C(z+2)(z-2)}{(z+2)(z-2)(z+1)}\)

⇒ 1 = A(z - 2)(z + 1) + B(z + 2)(z + 1) + C(z + 2)(z - 2)

z = - 2 रखने पर,  प्राप्त होता है

1 = A(-4)(-1) ⇒ A = 1/4

z = 2 रखने पर,  प्राप्त होता है

1 = B(4)(3) ⇒ B = 1/12

z = - 1 रखने पर,  प्राप्त होता है

1 = C(1)(-3) ⇒ C = - 1/3

इसलिए, f(z) = \(\frac14.\frac{1}{z+2}+\frac1{12}.\frac{1}{z-2}-\frac13\frac{1}{z+1}\)

1 < |z| < 2 में ⇒ \(\frac{1}{|z|}<1, \frac{|z|}{2}<1\)

अतः 

f(z) = \(\frac18.\frac{1}{1+\frac z2}-\frac1{24}.\frac{1}{1-\frac z2}-\frac1{3z}\frac{1}{1+\frac1z}\)

f(z) = \(\frac18.{(1+\frac z2)^{-1}}-\frac1{24}.{(1-\frac z2)^{-1}}-\frac1{3z}{(1+\frac1z)^{-1}}\)

f(z) = \(\frac{1}{8}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac z2\right)^n-\frac{1}{24}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac z2\right)^n-\frac{1}{3z}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z^n}\)

संकल्पना -

\((1-x)^{-1} = 1+x +x^2 +x^3+....\)

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त है  \(\rm \frac{z}{1-z-z^2}=\Sigma_{n=0}^{\infty}a_nz^n, a_n \in \)

\(\rm \frac{z}{1-z-z^2}= z(1-z-z^2)^{-1}=z(1-(z+z^2))^{-1}\)

अब प्राप्त सूत्र का प्रयोग करने पर-

\(\rm \frac{z}{1-z-z^2}=z(1+(z+z^2)+(z+z^2)^2+(z+z^2)^3+ (z+z^2)^4+....)\)

अब हम a6 और a5 का मान ज्ञात करना चाहते हैं, इसलिए a6 और a5, z6 और z5 के गुणांक है, इसलिए उपरोक्त समीकरण को हल करने के बाद हमें प्राप्त होता है -

\(a_5z^5 = (1+3+1)z^5 \ \ and \ \ a_6z^6 = (3+2+2+1)z^6\)

इसलिए, a6 और a5 के मान 8 और 5 है

अत:, 𝑎6 + 𝑎5  = 8 + 5 = 13

अतः, सही उत्तर 13 है।