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गणना:

f(x) = 2x3 + (2p – 7)x2 + 3(2p – 9)x – 6

⇒ f'(x) = 6x2 + 2(2p – 7)x + 3(2p – 9)

⇒ f'(0) < 0

∴ 3(2p – 9) < 0

⇒ \(\mathrm{p}<\frac{9}{2}\)

⇒ \(\mathrm{p} \in\left(-\infty, \frac{9}{2}\right)\)

अतः सही उत्तर विकल्प 3 है।

संप्रत्यय:

स्थानीय चरम (उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ):

• किसी फलन का स्थानीय उच्चिष्ठ उस बिंदु पर होता है जहाँ अवकलज धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है।
• किसी फलन का स्थानीय निम्निष्ठ उस बिंदु पर होता है जहाँ अवकलज ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है।
• स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए, हम फलन का प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।
• द्वितीय अवकलज परीक्षण आगे इस बात की पुष्टि कर सकता है कि क्या क्रांतिक बिंदु उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ के अनुरूप हैं:
  • यदि \( f''(x) > 0 \), तो फलन का उस बिंदु पर स्थानीय निम्निष्ठ है।
  • यदि \( f''(x) < 0 \), तो फलन का उस बिंदु पर स्थानीय उच्चिष्ठ है।
  • यदि \( f''(x) = 0 \), तो परीक्षण अनिर्णायक है।

दिया गया फलन:

• फलन इस प्रकार परिभाषित है:
  • के लिए \( x \neq 0 \), \( f(x) = \frac{6x + \sin x}{2x + \sin x} \)
  • के लिए \( x = 0 \), \( f(x) = \frac{7}{3} \)

आलेख व्यवहार:

• फलन एक परिमेय फलन है, और क्रांतिक बिंदुओं पर और अंतरालों पर इसके व्यवहार का विश्लेषण करने की आवश्यकता है।
• हम स्थानीय निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ के लिए अंतराल \( [\pi, 6\pi] \) और \( [2\pi, 4\pi] \) में फलन का विश्लेषण करते हैं।

गणना:

चरण 1: फलन का प्रथम अवकलज ज्ञात करना।

दिया गया फलन \( f(x) = \frac{6x + \sin x}{2x + \sin x} \) है, और हमें इसका प्रथम अवकलज ज्ञात करने की आवश्यकता है।

\( f'(x) = \frac{(2x + \sin x)(6 - \cos x) - (6x + \sin x)(2 - \cos x)}{(2x + \sin x)^2} \)

चरण 2: क्रांतिक बिंदुओं के लिए हल करना।

क्रांतिक बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए, हम \( f'(x) = 0 \) को हल करते हैं। यह हमें वे बिंदु देगा जहाँ फलन में संभावित उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ हैं।

चरण 3: पुष्टि के लिए द्वितीय अवकलज परीक्षण।

द्वितीय अवकलज \( f''(x) \) का उपयोग क्रांतिक बिंदुओं की प्रकृति (चाहे वे उच्चिष्ठ हों या निम्निष्ठ) की पुष्टि करने के लिए किया जाता है।

\( f''(x) = \frac{d}{dx} \left[ \frac{(2x + \sin x)(6 - \cos x) - (6x + \sin x)(2 - \cos x)}{(2x + \sin x)^2} \right] \)

चरण 4: स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ।

गणना के परिणाम बताते हैं कि:

• कथन A: बिंदु \( x = 0 \), \( f \) का स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है।
• कथन B: बिंदु \( x = 0 \), \( f \) का स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है।
• कथन C: अंतराल \( [\pi, 6\pi] \) में \( f \) के स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदुओं की संख्या 3 है।
• कथन D: अंतराल \( [2\pi, 4\pi] \) में \( f \) के स्थानीय निम्निष्ठ बिंदुओं की संख्या 1 है।

निष्कर्ष:

इसलिए, सही उत्तर हैं:

• कथन B: बिंदु \( x = 0 \), \( f \) का स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है।
• कथन C: अंतराल \( [\pi, 6\pi] \) में \( f \) के स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदुओं की संख्या 3 है।
• कथन D: अंतराल \( [2\pi, 4\pi] \) में \( f \) के स्थानीय निम्निष्ठ बिंदुओं की संख्या 1 है।

गणना:

⇒ f'(x) = 8x³ - 36x + 8 = 4(2x³ - 9x + 2)

f'(x) = 0

∴ \(x=\frac{\sqrt{6}-2}{2}\)

अब

⇒ \(f(x)=\left(x^{2}-2 x-\frac{9}{2}\right)\left(2 x^{2}+4 x-1\right)+24 x+7.5\)

∴ \(f\left(\frac{\sqrt{6}-2}{2}\right)=M=12 \sqrt{6}-\frac{33}{2} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय:

• इस प्रश्न में परिमेय फलनों की संततता, बहुपद फलनों के न्यूनतम मान और संयुक्त त्रिकोणमितीय और फ्लोर फलनों की अवकलनीयता का परीक्षण शामिल है।
• संततता के लिए अंश और हर को उन बिंदुओं पर रद्द करना आवश्यक है जहाँ हर शून्य हो जाता है।
• न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, क्रांतिक बिंदुओं का पता लगाने के लिए प्रथम अवकलज का उपयोग किया जाता है, और द्वितीय अवकलज परीक्षण इस बात की पुष्टि करता है कि बिंदु न्यूनतम है या नहीं।
• अवकलनीयता नहीं होने की स्थिति तब होती है जब |x - k| जैसे निरपेक्ष फलन तीव्र मोड़ (कस्प) का कारण बनते हैं।

गणना:

P) मान लीजिए k(x) = 10x³ - 45x² + 60x + 35

⇒ k'(x) = 30x² - 90x + 60 = 30(x - 1)(x - 2)

⇒ k(x) [1, 2] में संतत है

⇒ [k(1), k(2)] सभी x ∈ [1, 2] के लिए समान पूर्णांक हैं

⇒ n का न्यूनतम मान = 9

(P → 2)

Q) g(x) = (2n² - 13n - 15) / (n² + 3x)

⇒ (2n² - 13n - 15) / (n² + 3x) ≥ 0 g(x) ≥ 0 के लिए g(x) n और x का मिश्रण है

⇒ n का न्यूनतम मान 5 है

(Q → 1)

R) h(x) = (x² - 9)²(x² + 2x + 3)

⇒ h(x) में x = 3 पर स्थानीय न्यूनतम मान है n = 6 के लिए

⇒ (3 + δ) h(3 + δ) (δ एक छोटी धनात्मक वास्तविक संख्या है)

⇒ n = 6 के लिए x = 3 पर स्थानीय न्यूनतम मान है

⇒ (R → 4)

S) g(x) = sin |x - k| + cos |x - k - 1/2| + sin |x - k - 1| + cos |x - k - 3/2| + ⋯ + sin |x - 4| + cos |x - 9/2|

क्योंकि sin |x - k| x = k पर अवकलनीय नहीं है

लेकिन, cos |x - λ| x = λ पर अवकलनीय है

⇒ g(x) x₀ = 0, 1, 2, 3, 4 (5 बिंदु) पर अवकलनीय नहीं है

⇒ (S → 3)

इसलिए, सही मिलान P → 2, Q → 1, R → 4, S → 3 है।

इसलिए, विकल्प 2 सही उत्तर है।

संप्रत्यय:

त्रिघात फलन के स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्‍ठ ज्ञात करना:

• त्रिघात फलन के स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्‍ठ ज्ञात करने के लिए, पहले फलन को अवकलित करें और अवकलज को शून्य के बराबर करके क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।
• क्रांतिक बिंदु x के मानों के अनुरूप होते हैं जहाँ फलन स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्‍ठ प्राप्त करता है।
• प्राचल ज्ञात करने और आवश्यक बिंदुओं पर फलन का मूल्यांकन करने के लिए क्रांतिक बिंदुओं पर दी गई स्थितियों का उपयोग करें।

गणना:

दिया गया है,

\( f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2 x + 1 \)

प्रथम अवकलज,

\( f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2 \)

क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए \( f'(x) = 0 \) सेट करने पर:

\( 6x^2 - 18ax + 12a^2 = 0 \)

6 से भाग देने पर:

\( x^2 - 3ax + 2a^2 = 0 \)

मान लीजिए कि मूल \( p \) और \( q \) हैं। तब, वियता के सूत्रों द्वारा,

• \( p + q = 3a \)
• \( pq = 2a^2 \)

दी गई स्थिति,

\( p^2 = q \)

\( q = p^2 \) प्रतिस्थापित करने पर

\( p + p^2 = 3a \)

\( p \cdot p^2 = p^3 = 2a^2 \)

योग से,

\( a = \frac{p + p^2}{3} \)

गुणनफल से,

\( a^2 = \frac{p^3}{2} \)

योग का वर्ग करके गुणनफल के बराबर करने पर:

\( \left( \frac{p + p^2}{3} \right)^2 = \frac{p^3}{2} \)

\( p \) के लिए हल करने पर \( p = 2 \) प्राप्त होता है।

तब,

\( a = \frac{2 + 4}{3} = 2 \)

अंत में, \( f(3) \) का मूल्यांकन करने पर:

\( f(3) = 2(3)^3 - 9(2)(3)^2 + 12(2)^2 (3) + 1 \)

\( = 54 - 162 + 144 + 1 = 37 \)

∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

अवकलज का प्रयोग करके निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरण है। 

• फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए। 
• 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करेगा। 
• अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है: यदि f"(x), 0 से बड़ा है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है। 

गणना:

f(x) = x2 - x + 2

f'(x) = 2x - 1

0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

f'(x) = 2x - 1 = 0

⇒ x = \(\frac12\)

अब, f''(x) = 2 > 0

इसलिए, हमें x = \(\frac12\) पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है 

f(\(\frac12\)) = (\(\frac12\))² - \(\frac12\) + 2 = \(\frac74\)

अतः विकल्प (3) सही है। 

धारणा:

प्रत्येक x ∈ R के लिए |x| ≥ 0

गणना:

माना कि f(x) = |x + 3| - 2

जैसा कि हम जानते हैं कि प्रत्येक x ∈ R के लिए |x| ≥ 0

∴ |x + 3| ≥ 0

फलन का न्यूनतम मान प्राप्त होता है जब |x + 3| = 0

इसलिए f(x) का न्यूनतम मान = 0 – 2 = -2 

अवधारणा:

एक फलन y = f(x) के लिए:

• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा बढ़ते हुए से घटते हुए तक परिवर्तित करता है।
• सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा घटते हुए से बढ़ते हुए तक परिवर्तित करता है।
• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदुओं पर f'(x) = 0।
• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट के बिंदुओं पर f''(x) < 0।
• सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट के बिंदुओं पर f''(x) > 0।

गणना:

दिए गए फलन f(x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 12 के लिए पहले स्थानीय उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदु खोजें:

f'(x) = 12x³ + 12x² - 24x = 0

⇒ 12x(x² + x - 2) = 0

⇒ x(x + 2)(x - 1) = 0

⇒ x = 0 या x = -2 या x = 1

f''(x) = 36x² + 24x - 24

f''(0) = 36(0)2 + 24(0) - 24 = -24

f''(-2) = 36(-2)2 + 24(-2) - 24 = 144 - 48 - 24 = 72

f''(1) = 36(1)2 + 24(1) - 24 = 36 + 24 - 24 = 36

चूँकि x = 0 पर मान f''(0) = -24 < 0, फलन का स्थानीय अधिकतम मान x = 0 पर होता है।

संकल्पना:

निम्नलिखित चरण अवकलज का प्रयोग करके उच्चिष्ट और निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए हैं। 

• फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए। 
• 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और फिर हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करता है। 
• अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है। 

1. f``(x), 0 से कम है, तो दिए गए फलन को उच्चिष्ट कहा जाता है। 
2. यदि f``(x), 0 से अधिक है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है। 

गणना:

दिया गया है:

f(x) = e^x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ f’(x) = e^x

अधिकतम मान f’(x) = 0 के लिए 

∴ f’(x) = e^x = 0

घातांक फलन को x के किसी भी मान के लिए कभी भी शून्य नहीं माना जा सकता है, इसलिए फलन में स्थानीय उच्चिष्ट और निम्निष्ट नहीं हैं। 

संकल्पना:

अवकलज का प्रयोग करके उच्चिष्ट ज्ञात करने के निम्नलिखित चरण हैं। 

• फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए। 
• 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करता है। 
• अब हमें द्वितीय अवकलज ज्ञात करना है। 
• f"(x), 0 से कम है, तो दिए गए फलन को उच्चिष्ट कहा जाता है। 

गणना:

यहाँ, f(x) = x3 + 2x2 - 4x + 6 

f'(x) = 3x2 + 4x - 4

f'(x) = 0 निर्दिष्ट कीजिए 

3x2 + 4x - 4 = 0 

⇒3x2 + 6x - 2x - 4 = 0

⇒ 3x(x + 2) - 2(x + 2) = 0

⇒ (3x - 2)(x + 2) = 0

इसलिए, x = -2 या x = 2/3

अब, f''(x) = 6x + 4

f''(-2) = -12 + 4 = -8 < 0

∴ x = - 2 पर, f(x) का अधिकतम मान मौजूद है। 

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

निम्नलिखित चरण अवकलजों का प्रयोग करके उच्चिष्ट और निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए हैं। 

• फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए। 
• 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और फिर हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करता है। 
• अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है। 

1. f``(x), 0 से कम है, तो दिए गए फलन को उच्चिष्ट कहा जाता है। 
2. यदि f``(x), 0 से अधिक है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है। 

गणना:

माना कि f(x) = x³ - 12x² + kx – 8

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ f’(x) = 3x² – 24x + k

यह दिया गया है कि फलन x = 2 पर अंतराल [0, 3] के इसके अधिकतम मान को प्राप्त करता है। 

∴ f’(2) = 0

⇒ 3 × 2² – (24 × 2) + k = 0

∴ k = 36

संकल्पना:

वक्र की ढलान m को dy/dx = 0 द्वारा दिया गया है 

और, ढलान के अधिकतम होने की स्थिति: d2y/dx2 = 0

(dy/dx)x = a अधिकतम ढलान का मान देता है।

गणना:

y = – x3 + 3x2 + 9x – 27

dy/dx = – 3x2 + 6x + 9 = वक्र का ढलान 

अब, दोहरा अवकलन:

d2y/dx2 = – 6x + 6 = – 6 (x – 1)

d2y/dx2 = 0

⇒ – 6 (x – 1) = 0

⇒ x = 1

 x के सभी मानों के लिए स्पष्ट रूप से, d3y/dx3 = – 6 < 0 है

∴ ढलान अधिकतम है यदि x = 1 है।

(dy/dx)x = 1 = – 3 (1)2 + 6 × 1 + 9 = 12

फलन:

यदि फलन f(x) में x = a पर चरममान है, तो f'(a) = 0 है। 

गणना:

दिया गया है, फलन \(\rm f(x)= p \sin x + \dfrac{\sin 3x}{3}\)  है। 

⇒ f'(x) = \(\rm p\;cos \; x + \dfrac {3\;cos \;3x}{3}\)

⇒ f'(x) = \(\rm p\;cos \; x + cos \;3x\)

⇒ f'(\(\rm \dfrac {\pi}{3}\)) = \(\rm p\;cos \; (\dfrac {\pi}{3}) + cos \;3(\dfrac {\pi}{3})\)

⇒ f'(\(\rm \dfrac {\pi}{3}\)) = \(\rm p\;cos \; (\dfrac {\pi}{3}) + cos \; \pi\)

फलन \(\rm f(x)= p \sin x + \dfrac{\sin 3x}{3}\) में \(\rm x=\dfrac{\pi}{3}\)  पर चरममान है। 

इसलिए,  \(\rm f'(\dfrac {\pi}{3}) = 0\)

⇒ \(\rm p\;cos \; (\dfrac {\pi}{3}) + cos \; \pi\) = 0

⇒ \(\rm \dfrac p 2 -1 = 0\)

⇒ \(\rm \dfrac p 2 =1\)

⇒ \(\rm p = 2\)

अतः p का वह मान 2 है, जिसके लिए फलन \(\rm f(x)= p \sin x + \dfrac{\sin 3x}{3}\) में  \(\rm x=\dfrac{\pi}{3}\) पर चरममान है। 

संकल्पना:

एक फलन y = f(x) के लिए:

• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा बढ़ते हुए से घटते हुए तक परिवर्तित करता है।
• सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा घटते हुए से बढ़ते हुए तक परिवर्तित करता है।
• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदुओं पर f'(x) = 0।
• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट के बिंदुओं पर f''(x) < 0।
• सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट के बिंदुओं पर f''(x) > 0।

गणना:

मान लीजिए कि फलन y = f(x) = 2x3 - 21x2 + 36x - 20 है।

∴ f'(x) = \(\rm \dfrac{d}{dx}f(x)=\dfrac{d}{dx}(2x^3-21x^2+36x-20)\) = 6x 2 - 42x + 36।

और, f''(x) = \(\rm \dfrac{d^2}{dx^2}f(x)=\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{d}{dx}f(x)\right]=\dfrac{d}{dx}(6x^2-42x+36)\) = 12x - 42।

उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदुओं के लिए, f'(x) = 0।

⇒ 6x2 - 42x + 36 = 0

⇒ x2 - 7x + 6 = 0

⇒ x2 - 6x - x + 6 = 0

⇒ x(x - 6) - (x - 6) = 0

⇒ (x - 6)(x - 1) = 0

⇒ x - 6 = 0 या x - 1 = 0

⇒ x = 6 या x = 1

अब, इन बिंदुओं पर f '(x) के मानों का निरीक्षण करके उच्चिष्ट/निम्निष्ट के लिए इन बिंदुओं की जाँच करें।

f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30

f''(1) = 12(1) - 42 = 12 - 42 = -30

चूंकि, f''(6) = 30 > 0, यह न्यूनतम मान का बिंदु है।

और न्यूनतम मान f(6) है:

= 2(6)3 - 21(6)2 + 36(6) - 20

= 432 - 756 + 216 - 20

= -128

संकल्पना:

किसी वर्ग में अंकित वृत्त का केंद्र वर्ग के केंद्र के समान है। 

गणना:

वर्ग का निर्माण करने वाली दी गयी रेखाएं निम्न हैं:

x2 - 7x + 12 = 0

⇒ (x - 4)(x - 3) = 0

⇒ x = 4 और x = 3

और, y2 - 13y + 42 = 0

⇒ (y - 7)(y - 6) = 0

⇒ y = 7 और y = 6

केंद्र के निर्देशांक भुजाओं के मध्य-बिंदु होंगे: (3.5, 6.5)