Analytic Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Analytic Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

एक फलन f(x, y) को प्रसंवादी कहा जाता है यदि यह निम्न को संतुष्ट करता है:

\({\partial ^2 f\over \partial x^2}+{\partial ^2 f\over \partial y^2}\) = 0

व्याख्या:

(1): u = x2 + y2

\({\partial ^2 f\over \partial x^2}=2, {\partial ^2 f\over \partial y^2}= 2\)

इसलिए, \({\partial ^2 f\over \partial x^2}+{\partial ^2 f\over \partial y^2}\) ≠ 0

u = x2 + y2 प्रसंवादी नहीं है।

(1) सही है। 

(2): u = x2 - y2

\({\partial ^2 f\over \partial x^2}=2, {\partial ^2 f\over \partial y^2}=- 2\)

इसलिए, \({\partial ^2 f\over \partial x^2}+{\partial ^2 f\over \partial y^2}\) = 0

u = x2 - y2 प्रसंवादी है।

(3): u = sin hx cos y

\({\partial ^2 f\over \partial x^2}\) = sin hx cos y और \( {\partial ^2 f\over \partial y^2}\) = - sin hx cos y

इसलिए, \({\partial ^2 f\over \partial x^2}+{\partial ^2 f\over \partial y^2}\) = 0

u = sin hx cos y प्रसंवादी है।

(4): इसी प्रकार हम दर्शा सकते हैं कि

u = \(\frac{1}{2}\)log(x2 + y2) प्रसंवादी है।

संकल्पना:

एक फलन u = f(x, y) को आवर्त फलन कहा जाता है यदि \(\frac{\partial^2u}{\partial^2x}+\frac{\partial^2u}{\partial^2y}=0\)

हल:

दिया गया है,  \(\mathrm{u}=\frac{1}{2} \log \left(x^2+y^2\right)\)आवर्त है

अब , \(\frac{\partial u}{\partial x}\) = \(\frac{1}{2}\times\frac{2x}{x^2+y^2}\) = \(\frac{x}{x^2+y^2}\) 

\(\frac{\partial u}{\partial y}\) = \(\frac{1}{2}\times\frac{2y}{x^2+y^2}\) = \(\frac{y}{x^2+y^2}\)

∴ dv =\(\left ( \frac{\partial v}{\partial x} \right )\)dx + \(\left ( \frac{\partial v}{\partial y} \right )\)dy 

=\(\left ( \frac{-\partial u}{\partial x} \right )\)dx + \(\left ( \frac{\partial u}{\partial y} \right )\)dy [CR समीकरण का प्रयोग करने पर]

=\(\left (\frac{-y}{x^2+y^2}\right )\)dx + \(\left (\frac{x}{x^2+y^2}\right )\)dy

=\(\frac{x dy-ydx}{x^2+y^2}\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

v = \(\tan^{-1}\left ( \frac{y}{x} \right )\) + C

∴ हार्मोनिक संयुग्मी \(\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)+\mathrm{c}\) है

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Additional Informationd(xy) = xdy + ydx

d(\(\frac{x}{y}\)) = \(\frac{ydx-xdy}{y^2}\)

d(\(\frac{x dy-ydx}{x^2+y^2}\)) = d(\(\tan^{-1}\left ( \frac{y}{x} \right )\))

दिया गया है -​

मान लीजिये कि Ω ℂ का एक खुला संयोजित उपसमुच्चय है जिसमें 𝑈 = { 𝑧 ∈ ℂ ∶ |𝑧| ≤ \(\frac{1}{2}\)} सम्मिलित है।

मान लीजिये कि 𝔍 = { 𝑓 ∶ Ω → ℂ ∶ 𝑓 विश्लेषणात्मक है और \(\rm \displaystyle sup_{z,w \in U}\) |𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑤)| = 1 }।

सिद्धांत:

यदि f(z) \(\rm C\) के अंदर और पर विश्लेषणात्मक है और \(\rm |f(z)| \le M\) है। मान लीजिये कि a, C के अंदर एक बिंदु है। \(\rm |f^n(a)|\le \frac{M\cdot n!}{R^n}\ \ |z-a|=R\ के लिए\)

गणना:

मान लीजिये \(\rm g(z)=f(z)-f(-z)\ \forall\ z \in U\)

\(\rm \implies|g(z)|\le 1\)

अब,

\(\rm g'(z)=f'(z)+f'(-z)\)

\(\rm \implies g'(0)=f'(0)+f'(0)=2f'(0)\)

\(\rm \implies |g'(a)| \le \frac{M}{1/2}=2\)

\(\rm \implies |g'(0)| \le 2\)

\(\rm \implies |2f'(0)| \le 2\)

\(\rm \implies |f'(0)| \le 1<2\)

इसलिए कथन P गलत है।

अब,

\(\rm g''(z)=f''(z)-f''(-z)\)

\(\rm g'''(z)=f'''(z)+f'''(-z)\)

\(\rm g'''(0)=2f'''(0)\)

\(\rm |g'''(0)| \le \frac{1\cdot3!}{(1/2)^3}=48\)

\(\rm \implies |2f'''(0)| \le 48\)

\(\rm \implies |2f'''(0)| \le 48\)

\(\rm \implies |f'''(0)| \le 24<48\)

इसलिए कथन Q गलत है।

इसलिए विकल्प (2) और (3) सही हैं।

गणना:

माना z = x + iy और w = a + ib

⇒ |z + w| = |(x + a) + i(y + b)| = \(\rm\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2}\)

⇒ और |z − w| = |(x − a) + i(y − b)| = \(\rm\sqrt{(x−a)^2+(y−b)^2}\)

तो |z + w| = |z−w| को संतुष्ट करता है

\(\rm\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2}=\sqrt{(x−a)^2+(y−b)^2}\)

⇒(x + a)² + (y + b)² = (x − a)² + (y − b)²

⇒ x² + a² + 2ax + y² + b² + 2by = x² + a² − 2ax + y² + b² − 2by

⇒ 4(ax + by) = 0

⇒ ax + by = 0

अब,

z ⋅ w̅ = (x + iy) (a − ib) = ax − ibx + iay + by

= (ax + by) − i(bx − ay)

= − i(bx − ay),   {∵ ax + by = 0)

⇒ z ⋅ w̅ = − i(bx − ay) पूर्णतः काल्पनिक है।

सही उत्तर विकल्प "4" है। 

कॉची-रीमैन समीकरण:

आयताकार रूप:

f(z) = u(x, y) + f v(x, y)

f(z) को विश्लेषणात्मक होने के लिए इसे कॉची रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करने की आवश्यकता है

ux = vy, uy = -vx

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial v}}{{\partial y}},\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial v}}{{\partial x}}\)

ध्रुवीय रूप:

f(z) = u(r, θ) + f v(r, θ)

\({u_r} = \frac{1}{r}{v_\theta }\) और uθ = -rvr

​​\(\dfrac{\partial u}{\partial r} = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial v}{\partial \theta} \ \text{and} \ \dfrac{\partial v}{\partial r}=-\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial u}{\partial\theta }\)

कॉची-रीमैन समीकरण:

आयताकार रूप:

f(z) = u(x, y) + f v(x, y)

f(z) को विश्लेषणात्मक होने के लिए इसे कॉची रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करने की आवश्यकता है

ux = vy, uy = -vx

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial v}}{{\partial y}},\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial v}}{{\partial x}}\)

ध्रुवीय रूप:

f(z) = u(r, θ) + f v(r, θ)

\({u_r} = \frac{1}{r}{v_\theta }\) और uθ = -rvr

​​\(\dfrac{\partial u}{\partial r} = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial v}{\partial \theta} \ \text{and} \ \dfrac{\partial v}{\partial r}=-\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial u}{\partial\theta }\)

संकल्पना:

यदि f(z) = u(x, y) + iv(x, y) एक विश्लेषणात्मक फलन है, तो कॉची-रीमैन की स्थिति संतुष्ट होगी। 

अर्थात् \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial v}}{{\partial y}}~and~\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial v}}{{\partial x}}\)

गणना:

दिया गया है:

v = xy​

\(\frac{{\partial v}}{{\partial y}} = x \Rightarrow \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = x\)

\( \frac{{\partial v}}{{\partial x}} = y, \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial v}}{{\partial x}} = -y\)

यदि u = f(x, y) है। 

\(du = \frac{{\partial u}}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}dy\)

du = xdx - ydy

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर

\(\smallint du = \smallint \left( { x} \right)dx - \smallint ydy\)

\(u = \frac{1}{2}\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\)

अवधारणा:

सम्मिश्र फलन f(z) = u (x, y) + iv (x, y) वैश्लेषिक होगा यदि यह कौशी-रीमान प्रमेय के निम्नलिखित दो प्रतिबंधों को संतुष्ट कर देता है।

• \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial v}}{{\partial y}}\;\;and\;\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial v}}{{\partial x}}\)
• \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}},\frac{{\partial u}}{{\partial y}},\frac{{\partial v}}{{\partial x}},\frac{{\partial v}}{{\partial y}}\;{\rm{are\;continuous\;function\;of\;x\;and\;y}}.\)

f(z) = log z

\(\frac{{\partial }}{{\partial z}}f(z) = \frac{1}{z}\)

यहाँ, फलन f(z), z = 0 के अतिरिक्त सभी बिन्दुओं पर वैश्लेषिक है। चूंकि फलन इन दो मानों के लिए परिभाषित नहीं है।

संकल्पना:

यदि f(x, y) हार्मोनिक है, तो इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

\({{\nabla }^{2}}~f\left( x,~y \right)=0=\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}\)

गणना:

दिया गया फलन: f = 2x – x² + my²

इसलिए, हार्मोनिक के लिए इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

\({{\nabla }^{2}}f=0=\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}\)

\(\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}=\frac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}~\left( 2-2x \right)=-2\)

\(\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}=\frac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)}{\partial y}=\frac{\partial \left( 2my \right)}{\partial y}=2m\)

\(\Rightarrow \frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}=-2+2m=0\)

अवधारणा:

माना कि w = u + iν सम्मिश्र चर का एक फलन है।

एक सम्मिश्र चर का फलन विश्लेषणात्मक है यदि यह कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करता है;

\(i.e.\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \nu }}{{\partial y}}\;and\;\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial \nu }}{{\partial x}}\)

गणना:

दिया हुआ:

u(x, y) = 2x² – 2y² + 4xy, ν(x, y) = ?

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \nu }}{{\partial y}}\)

\(\frac{{\partial u }}{{\partial x}}=4x + 4y = \frac{{\partial \nu }}{{\partial y}}\)

x को स्थिर रखते हुए y के संबंध में समाकलन करके

ν(x, y) = 4xy + 2y² + f(x)

\(\frac{\partial v}{\partial x}=4y\;+\;f'(x)\)

\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial \nu }}{{\partial x}}\)

\(\frac{\partial u}{\partial y}= - 4y + 4x \)

4y – 4x = 4y + f’(x)

\(f\left( x \right) = - \frac{{4{x^2}}}{2} + C= - 2{x^2} + C\)

संकल्पना:

माना कि f(z) = u + iv है। 

यदि f(z) विश्लेषणात्मक फलन है। 

\(\begin{array}{l} \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial v}}{{\partial y}}\\ \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial v}}{{\partial x}} \end{array}\)

गणना:

दिया गया है:

u = स्थिरांक 

चूँकि u स्थिरांक है। 

\(\begin{array}{l} \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial v}}{{\partial y}} = 0 \Rightarrow v = f(x)\\ \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial v}}{{\partial x}} = 0 \Rightarrow v = f(y) \end{array}\)

यह केवल तब संभव होता है यदि v = स्थिरांक होता है। 

अतः f(z) = स्थिरांक (वास्तविक भाग (u) और काल्पनिक भाग (v) दोनों स्थिरांक हैं)

संकल्पना:

यदि f(z) = u + iv एक विश्लेषणात्मक फलन है, तो यह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial v}}{y}\;\;and\;\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial v}}{{\partial x}}\)

गणना:

दिया गया है: u = e^-y cos x

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = - {e^{ - y}}\sin x\)

\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - {e^{ - y}}\cos x\)

\(\frac{{\partial v}}{{\partial y}} = - {e^{ - y}}\sin x\)    ---(1)

\(\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = {e^{ - y}}\cos x\)      ---(2)

x को अचर मानकर,  y के सापेक्ष समीकरण (1) को समाकलित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

v = e^-y sin x

व्याख्या:

f(z) = u + iv

⇒ i f(z) = - v + i u

⇒ (1 + i) f(z) = (u - v) + i(u + v)

⇒ F(z) = U + iv, जहां F(z) = (1 + i) f(z)

U = u – v, V = u + v

अब,

मान लीजिये कि F(z) एक विश्लेषणात्मक फलन है

\(dV\; = \;\frac{{ - \partial U}}{{\partial x}}dy\)

dV = e^x (sin y + cos y) dx + e^z(cosy – siny) dy

∴ dV = d[e^x(siny + cosy)]

अब,

समाकलन करने पर

V = e^x (siny + cosy) + c₁

F(z) = U + iV = e^x(cosy - siny) + i e^x (siny + cosy) + ic₁

F = e^x(cosy + isiny) + ie^x (cosy + isiny) + ic₁

F(z) = (1 + i) e^{x + iy} + ic₁ = (1 + i)e^z + ic₁

⇒ (1 + i) F(z) = (1 + i) e^z + ic₁

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \;f\left( z \right)\; = \;{e^z} + \frac{i}{{1 + i}}{c_1}\; = \;{e^z} + \frac{{i\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{c_1}\\ = \;{e^z} + \frac{{\left( {i + 1} \right)}}{2}{c_1} \end{array}\)

∴ f(z) = e^z + (1 + i) c

दिया गया है u = 2kxy और V = x² – y²

अवधारणा:

फलन के वैश्लेषिक होने के लिए:

\(\frac{{du}}{{dx}} = \frac{{dv}}{{dy}}\) ; \(\frac{{du}}{{dy}} = - \frac{{dv}}{{dx}}\)

∴ उत्तर प्राप्त करने के लिए उपरोक्त में से कोई भी प्रतिबंध लागू करें।

पहले प्रतिबंध से:

\(\frac{{du}}{{dx}} = \frac{{dv}}{{dy}}\Rightarrow \frac{{d}}{{dx}}(2kxy) = \frac{{d}}{{dy}}(x^2 -y^2)\)

अवधारणा:

f(z) = u + iv

u = वास्तविक भाग

v = काल्पनिक भाग

यदि f(z) एक वैश्लेषिक फलन नहीं है तो

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial v}}{{\partial y}}}\\ {\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \end{array}} \right\} \to C.R\;equation\)

\(\therefore dv = \frac{{\partial v}}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial v}}{{\partial y}}dy\)

\(dv = \frac{{ - \partial u}}{{\partial y}}dx + \frac{{\partial u}}{{\partial x}}dy\) (यह एक यथार्थ अवकल समीकरण है)

गणना:

दिया गया है,

u = x³ – 3xy²

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 3{x^2} - 3{y^2}\)

\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - 6xy\)

\(dv = \frac{{ - \partial u}}{{\partial y}}dx + \frac{{\partial u}}{{\partial x}}dy\)

\(dv = 6xy\;dx + \left( {3{x^2} - 3{y^2}} \right)dy\)

यह एक यथार्थ अवकल समीकरण है जिसका हल पहले पद में y को अचर मानकर प्राप्त किया गया है और दूसरे पद में केवल उस भाग को समाकलित किया गया है जिसमें x नहीं है।

उपरोक्त समीकरण को समाकलित करने पर