बीजगणित MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

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हल कीजिए: (0.1 × 0.1 × 0.1+0.02 × 0.02 × 0.02)/(0.2 × 0.2 × 0.2+0.04 × 0.04 × 0.04)

प्रयुक्त सूत्र:

मूल अंकगणितीय संक्रियाएँ और घातांकीकरण

गणना:

(0.1 × 0.1 × 0.1 + 0.02 × 0.02 × 0.02) / (0.2 × 0.2 × 0.2 + 0.04 × 0.04 × 0.04)

⇒ (0.1³ + 0.02³) / (0.2³ + 0.04³)

⇒ (0.001 + 0.000008) / (0.008 + 0.000064)

⇒ 0.001008 / 0.008064

⇒ 0.125

सही उत्तर विकल्प 2 है।

समीकरण I: x² − 35x + 294 = 0

⇒ विविक्तकर = 35² − 4x294 = 1225 − 1176 = 49

⇒ मूल: x = [35 ± 7] ÷ 2 ⇒ x = 21 या 14

समीकरण II: y² − 38y + 345 = 0

⇒ विविक्तकर = 38² − 4x345 = 1444 − 1380 = 64

⇒ मूल: y = [38 ± 8] ÷ 2 ⇒ y = 23 या 15

संभावित मान:

x ∈ {14, 21}

y ∈ {15, 23}

चूँकि कभी-कभी x y (जैसे 21 > 15), इसलिए x और y के बीच का संबंध विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

इस प्रकार, सही उत्तर है x = y या संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता।

दिया गया है:

(5x - 2y)² + (2x + 5y)² + (5x + 2y)(5x - 2y) को सरल कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

गणना:

(5x - 2y)² = 25x² - 20xy + 4y²

(2x + 5y)² = 4x² + 20xy + 25y²

(5x + 2y)(5x - 2y) = 25x² - 4y²

⇒ (5x - 2y)² + (2x + 5y)² + (5x + 2y)(5x - 2y)

⇒ (25x² - 20xy + 4y²) + (4x² + 20xy + 25y²) + (25x² - 4y²)

⇒ 25x² + 4x² + 25x² - 20xy + 20xy + 4y² + 25y² - 4y²

⇒ 54x² + 25y²

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

बहुपद: x⁴ − 10x² + 22

प्रयुक्त सूत्र:

द्विघात सूत्र: समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए, x =

गणना:

माना y = x². दिए गए बहुपद को y में एक द्विघात समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:

y² - 10y + 22 = 0

y के लिए मूल ज्ञात करने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए, जहाँ a = 1, b = -10, c = 22:

y =

⇒ y =

⇒ y =

⇒ y =

⇒ y = 5

इसलिए, y के दो मूल हैं:

y₁ = 5 +

y₂ = 5 -

इसलिए, y में द्विघात को इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है:

(y - y₁)(y - y₂) = (y - (5 + ))(y - (5 - ))

वापस y = x² प्रतिस्थापित करें:

(x² - (5 + ))(x² - (5 - ))

∴ बहुपद x⁴ − 10x² + 22 का दो द्विघात बहुपदों के गुणनफल में गुणनखंड (x² - (5 + ))(x² - (5 - )) है।

दिया गया है:

a² + b² = 111

a x b = 27

a > b

प्रयुक्त सूत्र:

(a - b)² = a² + b² - 2ab

(a + b)² = a² + b² + 2ab

गणनाएँ:

सबसे पहले, (a - b)² का मान ज्ञात कीजिए:

(a - b)² = a² + b² - 2ab

⇒ (a - b)² = 111 - 2 x 27

⇒ (a - b)² = 111 - 54

⇒ (a - b)² = 57

चूँकि a > b है, इसलिए (a - b) धनात्मक होना चाहिए:

⇒ a - b =

अब, (a + b)² का मान ज्ञात कीजिए:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

⇒ (a + b)² = 111 + 2 x 27

⇒ (a + b)² = 111 + 54

⇒ (a + b)² = 165

यह मानते हुए कि a + b धनात्मक है (जैसा कि विकल्पों द्वारा निहित है):

⇒ a + b =

अब, का मान ज्ञात कीजिए:

⇒

इसलिए, का मान है।

दिया गया है:

x - 1/x = 3

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

गणना:

x3 - 1/x3 = (x - 1/x)3 + 3 × x × 1/x × (x - 1/x)

⇒ (x - 1/x)3 + 3(x - 1/x)

⇒ (3)3 + 3 × (3)

⇒ 27 + 9 = 36

∴ x³ - 1/x³ का मान 36 है।

Alternate Methodयदि x - 1/x = a है, तब x3 - 1/x3 = a3 + 3a

यहाँ a = 3

x - 1/x3 = 33 + 3 × 3

= 27 + 9

= 36

दिया गया है:

x = √10 + 3

प्रयुक्त सूत्र: 

a² - b² = (a + b)(a - b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

गणना:

⇒ 1/x = √10 - 3

     ----(1)

(1) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

    -----(2)

∴ अभीष्ट मान 234 है

 Shortcut Trickदिया गया है:

x = √10 + 3
प्रयुक्त सूत्र:

⇒ 

गणना:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒  

⇒ 

⇒ 

∴ अभीष्ट मान 234 है

दिया गया है:

p – 1/p = √7

सूत्र:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3(p – 1/p)

गणना:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3 (p – 1/p)

⇒ p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 7√7 + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 10√7

Shortcut Trick

x - 1/x = a, तब x³ - 1/x³ = a³ + 3a

यहाँ, a = √7

अत:,

p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7

दिया गया है:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 और abc = 15

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) × [(a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)]

गणना:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ विकल्प 1 सही विकल्प है।

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

गणना:

⇒ x^2/3 + x^1/3 = 2

⇒ (x^2/3 + x^1/3)³ = 2³

⇒ x² + x + 3x(x^2/3 + x^1/3) = 8

⇒ x² + 7x - 8 = 0

⇒ x² + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 या x = 1

माना कि भिन्न x है।

व्युत्क्रम = 1/x

तब,

x + 3/x = 73/20

⇒ x² + 3 = 73x/20

⇒ 20x² – 73x + 60 = 0

⇒ x = {- (-73) + √ (5329 – 4800)}/40     या        x = {- (-73) - √ (5329 – 4800)}/40

⇒ x = 96/40 = 12/5                                या        x = 50/40 = 5/4

∴ अभीष्ट भिन्न 5/4 या 12/5 है।

दिया गया है:

3x² – ax + 6 = ax² + 2x + 2

⇒ 3x² – ax² – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x² – (a + 2)x + 4 = 0

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि एक द्विघात समीकरण (ax2 + bx + c = 0) के मूल बराबर हैं, तब विविक्तकर शून्य होना चाहिए अर्थात् b2 – 4ac = 0

गणना:

⇒ (a + 2)² – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a² + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a² + 20a – 44 = 0

⇒ a² + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

 हल = 2

प्रयुक्त सूत्र:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

गणना:

a + b + c = 0

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 × (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 0

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc 

अब, (a3 + b3 + c3)2 = (3abc)2 = 9a2b2c2 

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2x⁵ + 2x³y³ + 4y⁴ + 5

अवधारणा

एक बहुपद की डिग्री गैर-शून्य गुणांकों के लिए इसके प्रत्येक पदों की उच्चतम डिग्री है।

गणना 

2x⁵ में बहुपद की डिग्री = 5 

2x³y³ में बहुपद की डिग्री = 6 

4y⁴ में बहुपद की डिग्री = 4

5 में बहुपद की डिग्री = 0

इसलिए, उच्चतम डिग्री 6 है।

∴ बहुपद की डिग्री = 6

कोई x5 होने की वजह से 5 को सही विकल्प के रूप में चुन सकता है लेकिन यहाँ सही उत्तर 6 होगा क्योंकि 2x3y3 की उच्चतम घात 6 है।

Important Points

एक बहुपद की डिग्री गैर-शून्य गुणांकों के लिए इसके प्रत्येक पदों की उच्चतम डिग्री है। यहाँ एक विशिष्ट मान के लिए जब x y के बराबर होगा तब समीकरण होगा:

2x5 + 2x3y3 + 4y4 + 5

= 2x5 + 2x6 + 4x4 + 5

∴ बहुपद की डिग्री 6 होगी

माना मेरी वर्तमान आयु = x वर्ष और मेरे कजिन की आयु = y वर्ष

मेरी वर्तमान आयु का तीन-पांचवां भाग, मेरे एक कजिन के पांच-छठे भाग के समान है,

⇒ 3x/5 = 5y/6

⇒ 18x = 25y

दस वर्ष पहले मेरी आयु, चार वर्ष बाद उसकी आयु के बराबर होगी,

⇒ x – 10 = y + 4

⇒ y = x – 14,

⇒ 18x = 25(x – 14)

⇒ 18x = 25x – 350

⇒ 7x = 350

∴ x = 50 वर्ष