यदि S1, S2,.... Sn उन गुणोत्तर श्रेढियों के योग हैं, जिनके प्रथम पद क्रमशः 1, 2, 3, ....n हैं एवं सार्व अनुपात क्रमशः \(\frac{1}{2},\frac{1}{3}.\frac{1}{4},...,\frac{1}{{n + 1}}\) है, ताे (S1 + S2 + S3 + ... + Sn) किसके बराबर है?

दिया गया है:

श्रेणी 1 = \( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...\)

श्रेणी 2 = \( 2+2\times\frac{1}{3}+2\times\frac{1}{3^2}+2\times\frac{1}{3^3}+...\)

श्रेणी n = \( n+n\times\frac{1}{n+1}+n\times\frac{1}{(n+1)^2}+n\times\frac{1}{(n+1)^3}+...\)

अवधारणा:
अनंत गुणोत्तर श्रेढियों का योग, S_∞ = \( \frac{a}{1-r}\) , जब |r| < 1

समांतर श्रेढ़ी का योग, S_AP = \(\frac{n(a+l)}{2}\) , जहाँ, \(l\) =श्रेणी का अंतिम पद

गणना:

श्रेणी 1 के लिए, a = 1 और r = \(\frac{1}{2}\)
∴ S₁ = \(\frac{a}{1-r}\) = \(\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\)
⇒ S₁ = 2

इसी प्रकार, श्रेणी 2 के लिए, a = 2 और r = \(\frac{1}{3}\)
∴ S₁ = \(\frac{2}{1-\frac{1}{3}}\)
⇒ S₂ = 3

इसी प्रकार,

S3 = 4

S₄ = 5, ...

S_n = n + 1

इसलिए, S₁, S₂, S₃, ... , Sn एक अंकगणितीय प्रगति (A.P.) है,

समांतर श्रेढ़ी के लिए,

a = S₁ = 2

n = n
\(l\) = S_n = n + 1,

इस प्रकार,
(S1 + S2 + S3 + ... + S_n) = \( \frac{n(a+l)}{2} = \frac{n(2+n+1)}{2}\)

∴ ( S1 + S2 + S3 + ... + S_n ) = \(\frac{n(n+3)}{2}\)