वर्तूळ, जीवा आणि स्पर्शिका MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Circles, Chords and Tangents - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेल्याप्रमाणे:

एक जीवा वर्तुळाच्या केंद्रावर आणि परिघावरील कोणत्याही बिंदूवर कोन तयार करते.

वापरलेले सूत्र:

केंद्रावर तयार केलेला कोन = 2 x परिघावर तयार केलेला कोन

गणना:

समजा, परिघावर तयार केलेला कोन x आहे.

⇒ केंद्रावर तयार केलेला कोन = 2x

⇒ गुणोत्तर = केंद्रावर तयार केलेला कोन : परिघावर तयार केलेला कोन

⇒ गुणोत्तर = 2x : x

⇒ गुणोत्तर = 2 : 1

∴ योग्य उत्तर पर्याय (4) आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

जीवेची लांबी 16 सेमी आणि त्रिज्या 10 सेमी आहे.

वापरलेली संकल्पना:

वर्तुळाची त्रिज्या वर्तुळाच्या जीवेला लंबदुभाजित करते.

वापरलेला सूत्र:

काटकोन त्रिकोणात, पायथागोरस प्रमेयानुसार

(कर्ण)² = (लंब)² + (पाया)² 

गणना:

समजा दोन जीवा AB = 16 सेमी आहेत

वर्तुळाची त्रिज्या लंबदुभाजित होते म्हणून,

AL = BL = 16/2 = 8 सेमी

Δ AOL मध्ये, ∠ALO = 90°

⇒ (AO)2 = (OL)2 + (AL)2

⇒ 102 = (OL)2 + (8)2

⇒ (OL)2 = 100 - 64 = 36

⇒ OL = 6 सेमी

म्हणून, वर्तुळाच्या केंद्रापासून त्या जीवेचे अंतर 6 सेमी आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

त्रिज्या (r) = 17 सेमी

केंद्रापासून जीवेचे अंतर (d) = 15 सेमी

वापरलेले सूत्र:

जीवेची लांबी = 2√(r² - d²)

गणना:

जीवेची लांबी = 2√(17² - 15²)

⇒ जीवेची लांबी = 2√(289 - 225)

⇒ जीवेची लांबी = 2√64

⇒ जीवेची लांबी = 2 × 8

⇒ जीवेची लांबी = 16 सेमी

म्हणूनच योग्य उत्तर पर्याय (4) आहे.

दिलेले आहे:

AC ही एका वर्तुळाची जीवा आहे.

∠AXC = 58°

वापरलेले सूत्र:

वर्तुळाच्या एकाच काटकोनावर एकाच खंडावर बनलेले कोन समान असतात.

तसेच, ∠AXC = ∠AYC

आपल्याला 2∠AYC शोधायचे आहे.

गणना:

दिलेले आहे, ∠AXC = 58°

जसे ∠AXC = ∠AYC

∠AYC = 58°

आपल्याला 2∠AYC शोधायचे आहे,

2∠AYC = 2 × 58°

2∠AYC = 116°

116° हे योग्य उत्तर आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

वर्तुळ 1 ची त्रिज्या (r₁) = 28 सेमी

वर्तुळ 2 ची त्रिज्या (r₂) = 20 सेमी

केंद्रबिंदूंमधील अंतर (d) = 50 सेमी

वापरलेले सूत्र:

अनुप्रस्थ सामाईक स्पर्शिकाची लांबी = √(d² - (r₁ + r₂)²)

गणना:

अनुप्रस्थ सामाईक स्पर्शिकेची लांबी = √(50² - (28 + 20)²)

⇒ √(50² - 48²) = √(2500 - 2304) = √196 = 14 सेमी

∴ अनुप्रस्थ सामाईक स्पर्शिकेची लांबी 14 सेमी आहे.

दिलेल्याप्रमाणे∶

AB ∥ CD, आणि

AB = 10 सेमी, CD = 24 सेमी

त्रिज्या OA आणि OC = 13 सेमी

वापरलेले सूत्र∶

केंद्रापासून जीवेवर काढलेले लंब, जीवाचे समद्विभाजन करते.

पायथागोरस प्रमेय.

गणना∶

AB आणि CD वर लंब OP काढा, आणि

AB ∥ CD, म्हणून, बिंदू O, Q, P समरेष आहेत.

आपल्याला माहित आहे की वर्तुळाच्या केंद्रापासून जीवेवर काढलेले लंब जीवाचे समद्विभाजन करते.

AP = 1/2 AB = 1/2 x 10 = 5 सेमी

CQ = 1/2 CD = 1/2 x 24 = 12 सेमी

OA आणि OC जोडा

मग, OA = OC = 13 सेमी

उजव्या ΔOPA पासून, आपल्याला मिळते

OP² = OA² - AP² [पायथागोरस प्रमेय]

⇒ OP² = 13²- 5²

⇒ OP2 = 169 - 25 = 144

⇒ OP = 12सेमी

उजव्या ΔOQC पासून, आपल्याला मिळते

OQ² = OC²- CQ² [पायथागोरस प्रमेय]

⇒ OQ2 = 13² - 12²

⇒ OQ2 = 169 - 144 = 25

⇒ OQ = 5

म्हणून, PQ = OP - OQ = 12 - 5 = 7 सेमी

∴ जीवांमधील अंतर 7 सेमी आहे.

संकल्पना:

त्रिज्या स्पर्शबिंदूवर स्पर्शिकेला लंब असते

चतुर्भुजाच्या सर्व कोनांची बेरीज = 360°

गणना:

PA आणि PB या बाह्य बिंदू P पासून वर्तुळाकडे काढलेल्या स्पर्शिका आहेत.

∠OAP = ∠OBP = 90°  (त्रिज्या स्पर्शबिंदूवर स्पर्शिकेला लंब असते)

आता, चतुर्भुज OAPB मध्ये,

∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360° 

75° + 90° + ∠AOB + 90° = 360°

∠AOB = 105°

अशा प्रकारे, दोन त्रिज्या, OA आणि OB मधील कोन 105° आहे.

आपल्याला माहीत आहे,

थेट सामान्य स्पर्शिकेची लांबी = √[d² - (R - r)²]

जेथे d हे केंद्रांमधील अंतर आहे आणि R आणि r या वर्तुळांच्या त्रिज्या आहेत.

PQ = √[(R + r)² - (R - r)²]

⇒ PQ = √[R² + r² + 2Rr - (R² + r² - 2Rr)]

⇒ PQ = √4Rr

⇒ PQ² = 4Rr

दिलेले आहे:

LC = 6, CD = 11, LB = 4 आणि AB = x

वापरलेले सूत्र:

LC × LD = LB × AL

गणना:

प्रश्नानुसार

LC × LD = LB × AL 

6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x) 

⇒ 4 + x = 51/2 

⇒ 4 + x = 25.5 

⇒ x = AB = 21.5 

∴ AB ची लांबी 21.5 सेमी आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

संकल्पना:

अर्धवर्तुळात बनवलेला कोन काटकोन असतो.

वर्तुळाच्या समान खंडात तयार होणारे कोन मोजमापाने समान असतील.

गणना:

B आणि R ला जोडून BR तयार होतो.

∠ARS + ∠ARP = 180°  [रेषीय जोडी]

⇒ ∠ARP = 180° - 125° = 55° 

∠ARB = 90°    [अर्धवर्तुळात बनवलेला कोन] 

⇒ ∠ARP + ∠BRP =  90° 

⇒ ∠BRP = 90° - 55° = 35° 

∠BRP = ∠PAB = 35°  [कोन समान विभागात केले]

∴ ∠PAB = 35°

दिलेले आहे:

AX = 24

XB = k

CX = (k + 2)

XD = 16

वापरलेले सूत्र:

दोन जीवा AB आणि CD बिंदू X वर छेदत असल्यास.

तर, AX × XB = CX × XD

गणना:

AX × XB = CX × XD

⇒ 24 × k = (k + 2) × 16

⇒ 3k = 2(k + 2)

⇒ 3k - 2k = 4

⇒ k = 4

म्हणून, k चे मूल्य 4 आहे.

दिलेल्यानुसार:

AB = 4 सेमी आणि BC = 5 सेमी

संकल्पना:

स्पर्शिकाखंड प्रमेय: जर स्पर्शिका आणि छेदिका वर्तुळाच्या बाहेर एका सामाईक बिंदूवर छेदत असतील, तर तयार झालेल्या विभागांचा दोन छेदिका किरणांशी समान संबंध असतो.

⇒ AD² = AB (AB + BC)      

गणना:

स्पर्शिकाखंडाचे प्रमेय वापरून, आपल्याकडे आहे,

AD2 = AB (AB + BC)     

⇒ AD2 = 4 (4 + 5)

⇒ AD2 = 36

⇒ AD = 6 सेमी

दिलेल्याप्रमाणे:

∠BAC = 60°

वापरलेली संकल्पना:

एका वर्तुळाच्या मध्यभागी असलेल्या लंबाद्वारे जोडलेला कोन वर्तुळाच्या उर्वरित भागावरील कोणत्याही बिंदूने जोडलेला कोन दुप्पट असतो.

गणना:

∠BIC = 2 × ∠BAC = 2 × 60° = 120° 

⇒ ∠BQR = ७०° (दिलेले)

⇒ ∠BQR = ∠QBA = 70° (पर्यायी आतील कोन)

⇒ ∠BQR = ∠QAB = 70° (पर्यायी सेगमेंट प्रमेय)

ΔAQB मध्ये

⇒ ∠AQB + ∠QAB + ∠QBA = 180°

⇒ ∠AQB + 70° + 70° = 180°

⇒ ∠AQB = 180° - 140° = 40°

दिलेल्याप्रमाणे:

दोन्ही वर्तुळांची त्रिज्या 12 सेमी आणि 8 सेमी आहे

दोन्ही वर्तुळे A बिंदूवर एकमेकांना बाहेरून स्पर्श करतात

MN ही दोन्ही वर्तुळांची सामाईक स्पर्शिका आहे.

गणना:

प्रश्नानुसार,

समजा वर्तुळांची केंद्रे अनुक्रमे P आणि Q आहेत.

P ला Q आणि M सह जुळवा. Q ला N सह जुळवा. PT ⊥ QN काढा.

आता PT = MN, कारण त्या PTNM या आयताच्या विरुद्ध बाजू आहेत.

⇒ PQ = त्रिज्या 1 + त्रिज्या 2

⇒ PQ = 12 सेमी + 8 सेमी

⇒ 20 सेमी.

आणि, QT = QN – NT {जसे, PM = NT = 8 सेमी}

⇒ QT = 12 सेमी – 8 सेमी

⇒ QT = 4 सेमी

आता, काटकोन ∆ PQT मध्ये, आपल्याकडे आहे:

 PT = √ {(PQ)2 - (QT)2 }

⇒ PT = √ {(20)2 - (4)2 }

⇒ PT = √ 384 

⇒ PT = 8√6 

∴ MN ची लांबी = PT = 8√6 सेमी 

Shortcut Trick

वापरलेले सूत्र:

थेट सामान्य स्पर्शिकेची लांबी, जेव्हा 2 वर्तुळे बाहेरून स्पर्श करत असतात,

⇒

जेथे D हे 2 केंद्रांमधील अंतर आहे

R आणि r वर्तुळांच्या 2 त्रिज्या आहेत

गणना:

सूत्र वापरून, आपणास मिळते

⇒

⇒ √384 = 8√6

∴ MN ची लांबी = PT = 8√6 सेमी