आयत MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Rectangle - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

P आयत ABCD के अंदर कोई बिंदु है।

PA = 69 सेमी

PB = 27 सेमी

PC = 38 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

एक आयत में, यदि P आयत के अंदर कोई बिंदु है, तो:

PA² + PC² = PB² + PD²

गणना:

PA² + PC² = PB² + PD²

⇒ 69² + 38² = 27² + x²

⇒ 4761 + 1444 = 729 + x²

⇒ 6205 = 729 + x²

⇒ x² = 6205 - 729

⇒ x² = 5476

⇒ x = √5476

⇒ x = PD = 74

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया:

एक वृत्त 16 सेमी और 12 सेमी भुजाओं वाले एक आयत के परिगत है।

प्रयुक्त अवधारणा:

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा

AC2 = AB2 + BC2

आयत का विकर्ण वृत्त का व्यास होता है।

वृत्त का क्षेत्रफल = πr2

हिसाब:

आयत का विकर्ण वृत्त का व्यास होता है।

अब, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

⇒ (2r)2 = (162 + 122)

⇒ 4r2 = (256 + 144)

⇒ 4r2 = 400

⇒ r2 = 100

⇒ r = 10 सेमी

अब, वृत्त का क्षेत्रफल = π(10)2 = 100 π  वर्ग सेमी

∴ अभीष्ट क्षेत्रफल 100 π वर्ग सेमी है।

दिया गया है:

एक आयताकार पार्क की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 3:2 है।

पार्क का परिमाप 120 मीटर है।

प्रयुक्त सूत्र:

आयत का परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई)

आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

गणना:

मान लीजिए लंबाई 3x और चौड़ाई 2x है।

परिमाप = 2(3x + 2x)

⇒ 120 = 2(5x)

⇒ x = 12

लंबाई = 3x = 3 × 12 = 36 मीटर

चौड़ाई = 2x = 2 × 12 = 24 मीटर

क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

⇒ क्षेत्रफल = 36 × 24 = 864 वर्ग मीटर

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

एक आयत के विकर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल, आयत के क्षेत्रफल से 108¹/₃% अधिक है।

आयत का परिमाप 28 इकाई है।

प्रयुक्त सूत्र:

वर्ग का क्षेत्रफल = (1 + 108¹/₃% / 100) × आयत का क्षेत्रफल

आयत का विकर्ण = वर्ग की भुजा

आयत का विकर्ण = √(l² + b²)

आयत का परिमाप = 2(l + b)

गणना:

मान लीजिए आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः l और b है।

परिमाप = 28

⇒ 2(l + b) = 28

⇒ l + b = 14

अब,

आयत का क्षेत्रफल = l × b

वर्ग का क्षेत्रफल = (1 + 108¹/₃% / 100) × l × b

⇒ (1 + 325/300) × l × b

⇒ (425/300) × l × b

⇒ वर्ग का क्षेत्रफल = (17/12) × l × b

अब, आयत का विकर्ण = वर्ग की भुजा

⇒ √(l2 + b2) = √((17/12) × l × b)

⇒ l2 + b2 = (17/12) × l × b

l + b = 14 से, तब, l = 14 - b

समीकरण में l को प्रतिस्थापित करें:

(14 - b)2 + b2 = (17/12) × (14 - b) × b

⇒ 196 - 28b + b2 + b2 = (17/12) × (14b - b2)

⇒ 196 - 28b + 2b2 = (238b/12 - 17b2/12)

⇒ 2b2 + b2 = (238b/12 - 28b + 196)

⇒ 2b2 + 12(238b/12 - 28b + 196)/17 = 0

इस समीकरण को हल करने पर:

b = 6

l = 14 - b = 8

⇒ अंतर = l - b = 8 - 6 = 2

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

आयत

• आयत एक चतुर्भुज है।
• विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के समांतर एवं बराबर होती हैं।
• प्रत्येक आंतरिक कोण 90 डिग्री के बराबर है।
• सभी आंतरिक कोणों का योग 360 डिग्री के बराबर होता है।
• विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। 
• दोनों विकर्णों की लंबाई समान होती है।

स्पष्टीकरण:

प्रश्न के अनुसार, हम एक आयत ABCD की आकृति बनाते हैं

AB = CD

BC = AD

AC = BD

यह एक आयत होगा और प्रत्येक कोण समकोण होगा।

चूंकि आयत के विकर्ण एक दूसरे को प्रतिच्छेदित करते हैं,

⇒ AO = OB

⇒ ∠OBA = ∠OAB = 25° [∵ समान भुजाओं के विपरीत कोण बराबर होते हैं]

ΔAOB में कोण योग गुणधर्म से,

⇒ ∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°

⇒ ∠AOB + 25° + 25° = 180°

⇒ ∠AOB = 130°

रैखिक युग्म गुणधर्म से,

⇒ ∠DOA + ∠AOB = 180°

⇒ ∠DOA + 130° = 180°

⇒ ∠DOA = 50°

दिया है:

अर्धवृत्त की त्रिज्या = 10 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = (1/2)πr2

आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

गणना:

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = (1/2)πr2

⇒ अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = (1/2) × (22/7) × (10)2

⇒ अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = 157.14 सेमी²

∵ A, OP का मध्य बिंदु है।

OA = 5 सेमी

ΔAOD में,

OD2 = OA2 + AD2

⇒ (10)2 = (5)2 + AD2

⇒ AD2 = 100 - 25

⇒ AD2 = 75

⇒ AD = 5√3

आयत ABCD का क्षेत्रफल = AB × AD

⇒ आयत ABCD का क्षेत्रफल = 10 × 5√3

⇒ आयत ABCD का क्षेत्रफल = 50√3

⇒ आयत ABCD का क्षेत्रफल = 86.60 सेमी²

∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्धवृत्त का क्षेत्रफल - आयत का क्षेत्रफल

⇒ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 157.14 - 86.60

⇒ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 70.54 सेमी²

∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल 70.54 सेमी² है।

दिया गया है:

एक आयत की लम्बाई इसकी चौड़ाई से 17 मीटर अधिक है।

इसके विकर्ण की लम्बाई = 25 मीटर 

संकल्पना:

क्षेत्रमिति

प्रयुक्त सूत्र:

आयत का परिमाप = 2(l + b)

गणना:

माना कि आयताकार मैदान की चौड़ाई = ‘x’ मीटर 

इसलिए, आयताकार मैदान की लम्बाई = (x + 17) मीटर 

प्रश्न से:

(x + 17)² + x² = 25²

⇒ x² + 289 + 34x + x² = 625

⇒ x² + 17x – 168 = 0

⇒ x² + 24x – 7x – 168 = 0

⇒ x(x + 24) – 7(x + 24) = 0

⇒ x = 7

इसलिए, 

आयत की चौड़ाई = 7 मीटर 

आयत की लम्बाई = 7 + 17 = 24 मीटर 

गणना:

चूँकि AD = BC और DC उभयनिष्ठ है

⇒ ΔADC और ΔBDC सर्वांगसम हैं

⇒ ∠ACD = ∠BDC = 25°

ΔDOC में,

∠DOC = 180° - (25 + 25) = 130°

⇒ ∠DOA = 180° - 130° = 50°

∴ विकर्णों के बीच न्यून कोण 50° है।

दिया गया है:

आयत का क्षेत्रफल = 300 सेमी²

विकर्ण = 25 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

आयत का परिमाप = 2 (लंबाई + चौड़ाई)

विकर्ण = √(लंबाई² + चौड़ाई²)

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

⇒ लंबाई × चौड़ाई = 300

फिर से,

विकर्ण = √(लंबाई2 + चौड़ाई2)

⇒ √(लंबाई2 + चौड़ाई2) = 25

⇒ √(लंबाई2 + चौड़ाई2) = 625

मान लीजिए लंबाई a है और चौड़ाई b है।

फिर,

⇒ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

⇒ (a + b)2 = 625 + 2 × 300

⇒ (a + b)2 = 1225

⇒ a + b = 35

आयत का परिमाप = 2(a + b)

⇒ 2 × 35

⇒ 70

∴ आयत का परिमाप 70 है।

दिया गया है : 

एक आयत ABCD जिसमें BC = 24, DP = 10 सेमी और CD = 15 सेमी है। 

CP = 15 - 10 = 5  

उपयोग की गई संकल्पना :

एक त्रिभुज की समरूपता  

यदि दो त्रिभुजों के बीच संगत कोणों का मान समान है तो त्रिभुजों को समरूप कहा जाता है।

यदि दो त्रिभुज समरूप हैं तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा। 

गणना :

∆ADP और ∆QCP में 

∠ADP = ∠QCP (दोनों 90° हैं)

∠APD = ∠QPC (अभ्यांतर विपरीत कोण)

∠PAD = ∠PQC (समानांतर रेखाओं के बीच एकांतर कोण) 

इस प्रकार, ∆ADP और ∆QCP समरूप त्रिभुज हैं 

अब,

AD/QC = DP/CP = AP/QP 

∆APD में 

AD² + DP² = PA² 

24² + 10² = PA2   (AD = BC एक आयत की विपरीत भुजा)

PA = 26 

⇒ 24/QC = 10/5 = 26/QP 

⇒ QP = 13 

अब, 

AQ = AP + PQ = 26 + 13  

⇒ 39 

∴ AQ 39 सेमी होगा। 

दिया गया है:

∠BOC = 44°

प्रयुक्त अवधारणा:

आयत के विकर्ण एक दूसरे को प्रतिच्छेदित करते हैं।

गणना:

∠BOC = ∠AOD = 44° 

 ΔAOD में, 

∠AOD + ∠DAO + ∠ADO = 180°

 ∠DAO + ∠ADO = 180 - 44 = 136° 

चूँकि, DO = AO, ∠DAO = ∠ADO 

इसलिए, 2 × ∠DAO = 136

या, ∠DAO = 68° 

दिया गया है:

l, b और p गुणोत्तर श्रेणी में हैं, जहाँ

l = लंबाई, b = चौड़ाई और p = परिधि 

प्रयुक्त अवधारणा:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

आयत की परिधि = 2 × (l + b)

यदि a, b और c गुणोत्तर श्रेणी में हैं (क्रम में) तो,

b² = ac

स्पष्टीकरण:

प्रश्न के अनुसार

b, l, p गुणोत्तर श्रेणी में हैं

इसलिए, l² = b × p

⇒ l2 = b × 2(l + b)

⇒ l2 - 2lb = 2b2

⇒ l2 - 2lb + b2 = 2b2 + b2

⇒ (l - b)2 = 3b2

⇒ l - b = √3b

⇒ l = √3b + b

⇒ l = b (√3 + 1)

⇒ l/b = (√3 + 1)/1

⇒ (l/b)2 = (4 + 2√3)/1

∴  l² : b² का अनुपात (4 + 2√3) : 1 है।

दिया गया है:

एक आयताकार मैदान की लम्बाई इसके चौड़ाई से 14 सेमी अधिक है। 

इसके विकर्ण की लम्बाई = 34 सेमी 

संकल्पना:

क्षेत्रमिती

प्रयोग किया गया सूत्र:

आयत का परिमाप = 2(l + b)

गणना:

माना कि मैदान की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः ‘x + 14’ और ‘x’ है। 

विकर्ण = 34 = \(\sqrt {{{\left( {x + 14} \right)}^2} + {x^2}} \)

⇒ 1156 = x² + 196 + 28x + x²

⇒ x² + 14x – 480 = 0

⇒ x2 + 30x - 16x - 480 = 0 

⇒ x(x + 30) - 16(x + 30) = 0

⇒ (x + 30) (x - 16) = 0

⇒ x = 16

इसलिए, 

मैदान का परिमाप = 2 [(x + 14) + x]

= 2 × 46

= 92 सेमी

∴ मैदान का परिमाप 92 सेमी है। 

गणना:

प्रश्न के अनुसार-

OT = OR

⇒ 3x + 1 = 2x + 4

⇒ 3x - 2x = 4 - 1

⇒ x = 3

∴ सही उत्तर 3 है।