Complex Numbers MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Complex Numbers - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा​:

• इकाई का n^वाँ मूल: सम्मिश्र संख्याएँ जो αⁿ = 1 को संतुष्ट करती हैं, इकाई के n^वें मूल कहलाती हैं।
• n = 5 के लिए, इकाई के पाँचवें मूल हैं: 1, α, α², α³, α⁴, जहाँ α = e^2πi/5
• इकाई के सभी पाँच मूलों का योग हमेशा शून्य होता है: 1 + α + α² + α³ + α⁴ = 0
• हम सम्मिश्र समतल में इकाई वृत्त पर इन मूलों की सममिति का उपयोग इनसे जुड़े मापांक व्यंजकों का मूल्यांकन करने के लिए कर सकते हैं।

गणना:

दिया गया है कि α इकाई का पाँचवाँ मूल है,

⇒ α⁵ = 1

5 मूल हैं: 1, α, α², α³, α⁴

सभी मूलों का योग: 1 + α + α² + α³ + α⁴ = 0

⇒ 1 + α + α² + α³ = −α⁴

दोनों ओर मापांक लेते हैं:

|1 + α + α² + α³| = |−α⁴|

चूँकि α⁴ इकाई वृत्त पर स्थित है, |α⁴| = 1

⇒ |1 + α + α² + α³| = 1

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है: |1 + α + α² + α³| = 1

संप्रत्यय:

1. एक सम्मिश्र संख्या का आयाम (या कोणांक) द्वारा दिया जाता है।

2. के संयुग्मी, जिसे द्वारा दर्शाया गया है, का आयाम होता है, क्योंकि सम्मिश्र संख्या का संयुग्मी ज्ञात करने पर आर्गैंड समतल में इसे वास्तविक अक्ष के परितः परावर्तित किया जाता है।

प्रयुक्त सूत्र:

.

गणना:

निष्कर्ष:

.

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय:

मुख्य संप्रत्यय ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं को सरल करना है। हम सम्मिश्र संख्या के कोणांक और डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करते हैं, जो कहता है:

(r(cosθ + i sinθ))ⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ))

गणना:

⇒

अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें

⇒

⇒

ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करें। मापांक r है:

कोणांक θ है:

इसलिए, सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप है

सम्मिश्र संख्या का घन करने के लिए, हम डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करते हैं

हमारे मामले में, r = 0 इसलिए,

इस प्रकार, सम्मिश्र  संख्या के घन का परिणाम है। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है,

शर्त है .

हमें इसको संतुष्ट करने वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं का बिंदुपथ ज्ञात करना है।

चरण 1: कार्तीय रूप में लिखें।

माना तब

चरण 2: मापांक समीकरण का अनुवाद करें।

दोनों ओर वर्ग करने पर:

चरण 3: प्रसार करें और सरल करें।

बायाँ:
दायाँ:

सभी पदों को एक साथ लाएँ और 3 से भाग दें:

चरण 4: वर्ग पूर्ण करें।

यह पर केंद्रित त्रिज्या का एक वृत्त है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

अवधारणा:

मुख्य तर्क और एकता के घनमूल:

• मुख्य तर्क (arg(z)): एक जटिल संख्या का मुख्य तर्क, जिसे के रूप में दर्शाया जाता है, जटिल संख्या द्वारा जटिल तल में बनाया गया कोण है, आमतौर पर की सीमा में।
• एकता के घनमूल: एकता के घनमूल समीकरण , जो हैं:
  • , एकता का आदिम घनमूल।
  • , एकता का दूसरा घनमूल।
• एकता के घनमूलों में यह गुण होता है कि और .

गणना:

दिया गया है,

• एकता का घनमूल है, और योग में की वैकल्पिक घातें शामिल हैं.

आइए योग को व्यक्त करें:

हम देखते हैं कि पदों का प्रत्येक जोड़ा रद्द हो जाता है:

यह योग को कुछ शेष पदों तक सरल बनाता है:

अब हम घातांक मॉड्यूलो 3 की गणना करते हैं, क्योंकि :

योग बनता है:

शेष पद देते हैं:

इसके बाद, हम को के तर्क का उपयोग करके पाते हैं:

का तर्क है।

निष्कर्ष:

इसलिए, है .

धारणा:

माना कि z = x + iy एक जटिल संख्या है।

• z का मापांक = 
• arg (z) = arg (x + iy) = 
• z का संयुग्मन = = x – iy

गणना:

माना कि z = (1 + i) ³

(a + b) ³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab² का उपयोग करके

⇒ z = 1³ + i³ + 3 × 1² × i + 3 × 1 × i²

= 1 – i + 3i – 3

= -2 + 2i

इसलिए, (1 + i) ³ का संयुग्मन -2 – 2i है

NOTE:

एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्म समान वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग के विपरीत चिन्ह वाला अन्य संयुग्म संख्या है। 

संकल्पना:

i² = -1

i³ = - i

i⁴ = 1

i⁴ⁿ = 1

गणना:

हमें (i² + i⁴ + i⁶ +... + i²ⁿ) का मान ज्ञात करना है

(i² + i⁴ + i⁶ +... + i²ⁿ) = (i² + i⁴) + (i⁶ + i⁸) + …. + (i^2n-2 + i²ⁿ)

= (-1 + 1) + (-1 + 1) + …. (-1 + 1)

= 0 + 0 + …. + 0

= 0

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्याओं की समानता। 

दो सम्मिश्र संख्याएँ z₁ = x₁ + iy₁ और z₂ = x₂ + iy₂ बराबर होते हैं यदि केवल x₁ = x₂ और y₁ = y₂ होते हैं।

या Re (z₁) = Re (z₂) और Im (z₁) = Im (z₂).

गणना:

दिया गया है: (1 + i) (x + iy) = 2 + 4i

⇒ x + iy + ix + i²y = 2 + 4i

⇒ (x – y) + i(x + y) = 2 + 4i

वास्तविक और काल्पनिक भाग को बराबर करने पर,

x - y = 2         …. (1)

x + y = 4        …. (2)

समीकरण 1 और 2 को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

x = 3

अब,

5x = 5 × 3 = 15

संकल्पना:

एकल के घनमूल 1, ω और ω2 हैं। 

यहाँ, ω =  और ω2 = 

एकल के घनमूल का गुण

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω3n = 1

गणना:

ω6 +  ω7 + ω⁵

= ω⁵ (ω + ω² + 1)

= ω⁵ × (1 + ω + ω2)

= ω5 × 0

= 0

संकल्पना:

माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, जहाँ x को सम्मिश्र संख्या या Re (z) का वास्तविक भाग कहा जाता है और y को सम्मिश्र संख्या या Im (z) का काल्पनिक भाग कहा जाता है। 

z का मापांक = |z| = 

गणना:

माना कि 

चूँकि हम जानते हैं i2 = -1

चूँकि हम जानते हैं कि यदि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को |z| =  द्वारा ज्ञात किया गया है। 

∴ |z| = 

संकल्पना:

माना z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है।

• z का मापांक = 
• arg (z) = arg (x + iy) = 
• संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।
• z का संयुग्म = x – iy

गणना:

माना z = (i - i2)3

⇒ z = i3 (1 - i) 3  = - i (1 - i)³

संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।

⇒ z̅  =  -(- i) (1 - (- i))³

⇒ z̅  =  i(1 + i)³

(a + b) 3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 का उपयोग करना

⇒ z̅  =  i(1 + i3 +3 ×12 × i + 3 × i2 × 1 ) 

⇒ z̅  =  i(1 - i + 3i - 3) 

⇒ z̅  =  i(-2 + 2i)

⇒ z̅  = -2i + 2i2

⇒ z̅  = -2 - 2 i

इसलिए,  (i - i2)3 का संयुग्म -2 - 2i है

धारणा:

एकत्व के घन मूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ, ω =  और ω² = 

एकता के घन मूलों का गुण

• ω³ = 1
• 1 + ω + ω² = 0
• ω = 1 / ω ² और ω² = 1 / ω
• ω³ⁿ = 1

गणना:

हमें ω3n + ω3n+1 + ω3n+2 का मूल्य खोजना होगा

⇒ ω3n + ω3n+1 + ω³ⁿ⁺² 

= ω3n (1 + ω + ω²)           (∵ 1 + ω + ω2 = 0)

= 1 × 0 = 0

अवधारणा 

एकत्व के घन मूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ ω =  और ω2 = 

एकत्व के घन मूलों के गुण:

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω = 1 / ω 2 और ω2 = 1 / ω
• ω3n = 1

गणना:

दिया गया है,

(x - 1)3 + 8 = 0

⇒ (x - 1)3 = (-2)3

⇒ (x - 1) = -2(1)1/3

(x - 1) = -2(1, ω,  ω2)

⇒ x = -1, 1 - 2ω, 1 - 2ω2 

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्या:

• एक सम्मिश्र संख्या रूप a + ib की संख्या होती है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i, i = √-1 द्वारा परिभाषित सम्मिश्र इकाई है। 
• i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 इत्यादि
• सामान्यतौर पर, i^{4n + 1} = i, i4n + 2 = -1, i4n + 3 = -i, i4n = 1

• सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए z का संयुग्म z̅ = a - ib है। 

गणना:

हर के संयुग्म से गुणा और भाग करके सम्मिश्र संख्या  का परिमेयकरण करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

 = -i

अब, 

⇒ 

⇒ (-i)n = (-i)2      (∵ i2 = -1)

∴  n = 2

संकल्पना:

माना कि z = x + iy सम्मिश्र संख्या है। 

• z का मापांक = 
• arg (z) = arg (x + iy) = 
• z का संयुग्म = z̅ = x – iy

गणना:

दी गयी सम्मिश्र संख्या z =  है। 

z = 

z = 

z = 

z = 

z का संयुग्म = (z̅) =